एक गुणोत्तर श्रेढ़ी के प्रथम 8 पदों का योगफल इसके प्रथम 4 पदों के योगफल का पाँच गुना है। यदि $r$≠$1$ सार्व अनुपात है, तो r के कितने संभावित वास्तविक मान हो सकते है?

गणना:

दिया गया है,

एक गुणोत्तर श्रेढ़ी के प्रथम 8 पदों का योग उसके प्रथम 4 पदों के योग का 5 गुना है।

एक गुणोत्तर श्रेढ़ी के प्रथम n पदों के योग का सूत्र है:

\( S_n = a \frac{1 - r^n}{1 - r} \)

\( S_8 \)और\( S_4 \) के लिए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:

\( a \frac{1 - r^8}{1 - r} = 5 \times a \frac{1 - r^4}{1 - r} \)

\( \frac{1 - r^8}{1 - r^4} = 5 \)

\( r^8 - 5r^4 + 4 = 0 \)

मान लीजिये x = r⁴, जिससे द्विघात समीकरण प्राप्त होता है:

\( x^2 - 5x + 4 = 0 \)

x के लिए हल करने पर, हमें प्राप्त होता है:

\( x = 4 \quad \text{या} \quad x = 1 \)

चूँकि x = r⁴, यह देता है:

\( r^4 = 4 \Rightarrow r = \pm \sqrt{2} \)

r के संभावित वास्तविक मानों की संख्या दो है: \(\pm \sqrt{2} \).

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 2 है।