यदि एक का मान _____ है तो बिंदु (5, -2), (8, -3) और (a, -12) संरेखीय है। 

अवधारणा :

यदि बिंदु A (x1, y1), B (x2, y2) और C (x3, y3) संरेखीय हैं तो ΔABC का क्षेत्रफल = 0

माना कि A (x1, y1), B (x2, y2) और C (x3, y3) एक Δ ABC के शीर्ष हैं, फिर Δ ABC का क्षेत्रफल (A): \(A=\frac{1}{2} \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}&{{y_1}}&1\\ {{x_2}}&{{y_2}}&1\\ {{x_3}}&{{y_3}}&1 \end{array}} \right|\)

गणना:

यहाँ, हमें k के मूल्य का पता लगाना है जिसके लिए बिंदु (5, -2), (8, -3) और (a, -12) संरेखीय हैं

माना कि

x1 = 5, y1 = -2,

x2 = 8, y2 = -3,

x3 = a, y3 = -12.

जैसा कि हम जानते हैं कि, यदि A (x1, y1), B (x2, y2) और C (x3, y3) एक Δ ABC के शीर्ष हैं तो ΔABC का क्षेत्रफल =    \(A= \frac{1}{2} \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}&{{y_1}}&1\\ {{x_2}}&{{y_2}}&1\\ {{x_3}}&{{y_3}}&1 \end{array}} \right|\)

\(⇒ A = \frac{1}{2} \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{5}}&{{-2}}&1\\ {{8}}&{{-3}}&1\\ {{a}}&{{-12}}&1 \end{array}} \right|\)

2A = 5 (-3 + 12) + 2(8 - a) + 1(-96 + 3a)

2A = 45 + 16 - 2a - 96 + 3a

2A = a - 35  

⇒ A = (a - 35)/2

∵ दिए गए बिंदु संरेखीय हैं।

जैसा कि हम जानते हैं कि, यदि A (x1, y1), B (x2, y2) और C (x3, y3) एक Δ ABC के शीर्ष हैं तो ΔABC का क्षेत्रफल = 0।

⇒ (a - 35)/2 = 0

⇒ a = 35

इसलिए विकल्प D सही उत्तर है।

Alternate Method

अवधारणा:

तीन या अधिक बिंदु संरेखीय है यदि अंकों के किसी भी दो जोड़े का ढलान समान है।

गणना:

माना, A = (5, -2), B = (8, -3), C = (a, -12)

अब, AB का ढलान = BC का ढलान = AC का ढलान (∵ बिन्दुं संरेखीय हैं)

\(\rm \frac{-3-(-2)}{8-5}=\frac{-12-(-3)}{a-8}\\ ⇒ \frac{-1}{3}=\frac{-9}{a-8}\)

⇒ a - 8= 27

⇒ a = 27 + 8 = 35

इसलिए, विकल्प (4) सही है।