द्रव्यमान m के दो कणों का हैमिल्टोनियन H(q₁, p₁; q₂, p₂) = \(\frac{{{\rm{p}}_1^2}}{{2{\rm{m}}}} + \frac{{{\rm{p}}_2^2}}{{2{\rm{m}}}} + k\left( {q_1^2 + q_2^2 + \frac{1}{4}{q_1}{q_2}} \right)\) है, जहां k > 0 एक स्थिरांक है। विभाजक फलन Z(β) =\(\int_{ - \infty }^\infty {{\rm{d}}{{\rm{q}}_{\rm{1}}}} \int_{ - \infty }^\infty {{\rm{d}}{{\rm{p}}_{\rm{1}}}} \int_{ - \infty }^\infty {{\rm{d}}{{\rm{q}}_{\rm{2}}}} \int_{ - \infty }^\infty {{\rm{d}}{{\rm{p}}_{\rm{2}}}} {{\rm{e}}^{ - {\rm{\beta H}}\left( {{q_1},{p_1};{q_2},{p_2}} \right)}}\) का मान है

संप्रत्यय:

विभाजन फलन: सांख्यिकीय यांत्रिकी में, विभाजन फलन Z एक महत्वपूर्ण राशि है जो थर्मोडायनामिक साम्यावस्था में एक निकाय के सांख्यिकीय गुणों को एन्कोड करता है। यह तापमान और अन्य मापदंडों, जैसे कि गैस को घेरने वाला आयतन, का एक फलन है। निकाय के अधिकांश थर्मोडायनामिक चर, जैसे कि कुल ऊर्जा, मुक्त ऊर्जा, एन्ट्रापी और दाब, को विभाजन फलन या इसके व्युत्पन्नों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है।

Γ फलन सूत्र: \(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\alpha x^2} d x = \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\)

व्याख्या:
\(\begin{aligned} & Z(β)=\int_{-\infty}^{\infty} d q_1 \int_{-\infty}^{\infty} d p_1 \int_{-\infty}^{\infty} d q_2 \int_{-\infty}^{\infty} d p_2 e^{-β H\left(q_1, p_1 ; q_2, p_2\right)} \\ & Z(β)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-β \frac{p_1^2}{2 m}} d p_1 \int_{-\infty}^{\infty} e^{-β \frac{p_2^2}{2 m}} d p_2 \int_{-\infty}^{\infty} \int_{\infty}^{\infty} e^{-β k\left(q_1^2+q_2^2+\frac{q_1 q_2}{4}\right)} d q_1 d q_2 \\ & Z(β)= \sqrt{\frac{\pi}{β/2m}} \sqrt{\frac{\pi}{β/2m}} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{\infty}^{\infty} e^{-β k\left(q_1^2+q_2^2+\frac{q_1 q_2}{4}\right)} d q_1 d q_2 \\ \end{aligned}\)

अब, मान लीजिये q₁ = u + v और q₂ = u - v

इसलिए, u = ½ (q₁ + q₂) और v = ½ (q1 - q2)

\( \begin{aligned} &⇒q_1^2+q_2^2+\frac{q_1 q_2}{4}\\ &=u^2+v^2+2 u v+u^2+v^2-2 u v+\frac{u^2-v^2}{4}\\ &=2\left[u^2+v^2\right]+\frac{u^2-v^2}{4}=\frac{8 u^2+8 v^2+u^2-v^2}{4}=\frac{9 u^2+7 v^2}{4}\\ & \text{इसलिए,} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-β k\left(q_1^2+q_2^2+\frac{q_1 q_2}{4}\right)} d q_1 d q_2=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} J(u, v) e^{\frac{-β k}{4}\left(9 u^2+7 v^2\right)} d u d v \\ & J(u, v)=\left|\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{array}\right|=2, \quad\\ &\text{इसलिए,} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-β k\left(q_1^2+q_2^2+\frac{q_1 q_2}{4}\right)} d q_1 d q_2=2 \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-9 β \frac{k}{4} u^2} e^{-7 β \frac{k}{4} v^2} d u d v \\ &= 2 \sqrt{ \frac{\pi}{9β k/4} } \sqrt{\frac{\pi}{7β k/4}} \end{aligned}\)

अब, विभाजन फलन

\(\begin{aligned} & \\ & Z(β)=2\sqrt{\frac{\pi}{β / 2 m}} \sqrt{\frac{\pi}{β / 2 m}} \sqrt{ \frac{\pi}{9β k/4} } \sqrt{\frac{\pi}{7β k/4}}\\ &=\frac{2 \pi m}{β} \cdot 2 \cdot \frac{\pi}{β k} \sqrt{\frac{16}{63}}\\ &=\frac{2 m \pi^2}{k β^2} \sqrt{\frac{64}{63}} \end{aligned}\\ \)

इसलिए सही उत्तर विकल्प 4 है।