1 kg वस्तु पर कार्य करने वाला बल ऐसा है कि वस्तु की स्थिति में परिवर्तन x = 3t - 4t² + t³ द्वारा दिया जाता है जहां x मीटर में है और t सेकंड में समय है। पहले चार सेकंड के दौरान किया गया कार्य क्या होगा?

सही उत्तर विकल्प 2) यानी 176 J है

अवधारणा :

• कार्य (W) को एक बल द्वारा किया जाता है जब उस पर कार्य करने वाला बल वस्तु को विस्थापित करता है।

गणितीय रूप से यह इसके द्वारा दिया गया है:

W = F.x = Fxcosθ

जहाँ F वस्तु पर बल का कार्य करता है और x का विस्थापन है।

• एक वस्तु पर काम करने वाले बल और विस्थापन को चित्र के रूप में इसप्रकार दर्शाया गया है।
  • मान लीजिये वस्तु पर परिवर्तनीय बल कार्य कर रहा है। यदि हम इस क्षेत्र को अनंत छोटे क्षेत्रों में वक्र के तहत विभाजित करते हैं, तो बल उस क्षेत्र के लिए स्थिर दिखाई देगा, जिसने Δx का विस्थापन किया है।
  • ऐसे मामले में, उस छोटे क्षेत्र का क्षेत्रफल = बल × विस्थापन (Δx) = किया गया कार्य

  • इसलिए, एक चर बल द्वारा किया गया कार्य निम्न द्वारा दिया जाता है:

\(W = ∫ _{x_1} ^{x_2} F(x)dx\)

गणना :

दिया है कि:

विस्थापन, x = 3t - 4t2 + t3

वेग, \(v =\frac{dx}{dt} = \frac{d(3t - 4t^2 + t^3)}{dt} = 3-8t + 3t^2\)

त्वरण, \(a = \frac{d^2x}{dt^2} = \frac{d^2(3t - 4t^2 + t^3)}{dt^2} = -8 + 6t\)

पहले 4 s के दौरान किया गया कार्य, \(W = ∫ _{0} ^{4} F.dx = ∫ _{0} ^{4} (ma).dx \)

\(\Rightarrow W = ∫ _{0} ^{4} 1(-8 +6t).(3-8t + 3t^2) dt\)

\(\Rightarrow W = \int_{0} ^{4} (18t^3 - 72t^2+82t-24 ) \)

\(\Rightarrow W = [\frac{18t^4}{4} - \frac{72t^3}{3} + \frac{82t^2}{2} -24t ]_{0} ^{4} \)

\(\Rightarrow W =176 \:J\)