दो दी गई प्राकृतिक संख्याओं के घनों के बीच का अंतर 6272 है, जबकि दोनों दी गई संख्याओं के बीच धनात्मक अंतर 8 है। दी गई दोनों संख्याओं के घनों का योग क्या है?

x³ - y³ = 6272 

x - y = 8

प्रयुक्त सूत्र:-

( A³  + B³) = ( A  + B)³ - 3AB( A  + B)  

( A3 - B3) = ( A  - B)3 + 3AB( A  - B)

गणना:-

सूत्र के अनुसार, 

x3 - y3 = ( x - y )³ + 3xy(x - y)  

⇒ ( x - y )3 + 3xy(x - y) = 6272 

⇒ 8³ + 3xy(8) = 6272 

⇒24xy = 6272 - 512 = 5760 

⇒ xy = 240 .....(1)

अब,

(x - y) = 8 [दिया गया है]

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,

(x - y)² =  64 

⇒ x² + y² - 2xy = 64 

⇒ x2 + y2 = 64 + 2× 240 [ xy = 240] 

⇒ x2 + y2 = 544 ....(2)

हम जानते हैं कि

(x + y)² = x² + y² + 2xy 

⇒ (x + y)2 = 544 +  2× 240  

⇒ (x + y)2 = 1024 

⇒ (x + y) = 32

प्रश्न के अनुसार,

 x3 +  y3 = ( x + y )3 - 3xy(x + y) 

⇒  x3 +  y3 = 32³ - 3 × 32 × 240   

⇒ 32768 - 23040 = 9728 

∴ अभीष्ट उत्तर 9728 है।