मानें कि किसी निश्चित n ≥ 2 के लिए ℝn में x = (x1, …, xn) तथा y = (y1, …, yn) दो सदिशों को निरूपित करते हैं। निम्न में से कौन-सा ℝn पर आंतरिक गुणन (inner product) परिभाषित करता है?

संकल्पना:

(a) मान लीजिए V एक सदिश समष्टि है। एक फलन β : V x V → ℝ, जिसे आमतौर पर β(x, y) = के रूप में दर्शाया जाता है, को V पर एक आंतरिक गुणनफल कहा जाता है यदि यह धनात्मक, सममित और द्विरेखीय है। अर्थात, यदि

(i) ≥ 0, = 0 केवल x = x के लिए

व्याख्या:

x = (x1, …, xn) और y = (y1, …, yn) ∈ ℝn

n = 2 के लिए

(1) 〈x, y〉 = \(\rm\displaystyle\sum_{i, j=1}^2\) xiyj = x1y1 + x1y2 + x2y1 + x2y2

इसलिए, A = \(\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}\)

यहाँ a > 0, d > 0 लेकिन ad - bc = 1 - 1 = 0

इसलिए यह आंतरिक गुणनफल समष्टि को परिभाषित नहीं करता है।

विकल्प (1) असत्य है

इसलिए, A = \(\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}\)

यहाँ a = 0, d = 0 लेकिन ad - bc = 0 - 1 = -1 < 0

इसलिए यह आंतरिक गुणनफल समष्टि को परिभाषित नहीं करता है।

विकल्प (4) असत्य है

(2)

〈x, y〉 = \(\rm\displaystyle\sum_{i, j=1}^n\left(x_i^2+y_j^2\right)\)

= \((x_1^2 + y_1^2)+(x_1^2+y_2^2) + (x_2^2+y_1^2) + (x_2^2+y_2^2) \)

= \(2x_1^2 + 2y_1^2+2x_2^2+2y_2^2\)

x = (1,1) और y = (1,1) पर विचार करें

तब <2x,y> = 2(2)² + 2 (2)² + 2 (1)² + 2(1)² = 20

लेकिन 2 = 2( 2 (1)2 + 2(1)2 + 2 (1)2 + 2(1)2 ) = 16

इस प्रकार <2x,y> ≠ 2 और इसलिए एक आंतरिक गुणनफल नहीं है।

विकल्प (2) असत्य है।

इसलिए विकल्प (3) सत्य है।