हैमिल्टोनियन H = \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1&0\\ 1&2&0\\ 0&0&2 \end{array}} \right)\)की प्रसामान्यीकृत अभिलक्षणिक अवस्थाओं को \({\left| {{{\rm{\psi }}_1}} \right\rangle }\), \({\left| {{{\rm{\psi }}_2}} \right\rangle }\) तथा \({\left| {{{\rm{\psi }}_3}} \right\rangle }\). मानें। अवस्था \(\left| {\rm{\psi }} \right\rangle \) = \(\frac{1}{{\sqrt 3 }}\left( {\left| {{{\rm{\psi }}_1}} \right\rangle + \left| {{{\rm{\psi }}_2}} \right\rangle - {\rm{i}}\left| {{{\rm{\psi }}_3}} \right\rangle } \right)\) में प्रत्याशा मान \(\left\langle {\rm{H}} \right\rangle \) एवं H के प्रसरण हैं

संप्रत्यय:

सामान्यीकृत आइगेनवेक्टर एक ऐसा आइगेनवेक्टर होता है जिसकी लंबाई इकाई होती है। इसे वेक्टर के प्रत्येक घटक को वेक्टर की लंबाई से विभाजित करके आसानी से प्राप्त किया जा सकता है।

गणना:

H = \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1&0\\ 1&2&0\\ 0&0&2 \end{array}} \right)\)

आइगेनमान = \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2-λ&1&0\\ 1&2-λ&0\\ 0&0&2-λ \end{array}}\right| \) = 0

(2-λ)((2-λ)² - 1) = 0

λ₁ = 2, λ₂ = 1, λ₃ = 3

|ψ> = \({1 \over \sqrt{3}}\)(|ψ₁>+|ψ₂>-i|ψ₃>)

P(E = 2) = \({{1\over3}\over {1\over3}+{1\over3}+{1\over3}}\) = \({1\over3}\),

P(E = 1) = \({1\over3}\),

P(E = 3) = \({1\over3}\)

= 2x\({1\over3}\) + \({1\over3}\) + 3x \({1\over3}\)

= 2

2> = \({14 \over 3}\)

(Δ E)² = 2> - ² = \({2 \over 3}\)

सही उत्तर विकल्प (3) है।