यदि वृत्त की त्रिज्या \(\rm-\frac{2}{\pi}\ m/sec\) की दर से परिवर्तित होती है, तो त्रिज्या 10 m होने पर वृत्त की क्षेत्रफल किस दर से परिवर्तित होती है?

Question

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This question was previously asked in

NIMCET 2018 Official Paper

Answer 1

संकल्पना:

r इकाई वाले वृत्त का क्षेत्रफल निम्न हैं: πr² वर्ग इकाई
चर t के संबंध में फलन f(x) के मान के परिवर्तन की दर को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: \(\rm \frac{d}{dt}f(x)\).
अवकलज का श्रृंखला नियम:\(\rm \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}\).
\(\rm \frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}\).

गणना:

माना कि वृत्त की त्रिज्या r मीटर है और माना कि t सेकेंड में समय है।

यह दिया गया है कि \(\rm \frac{dr}{dt}=-\frac{2}{\pi}\ m/sec\).

अब, वृत्त का क्षेत्रफल: A = πr2 m².

अवकलज के श्रृंखला नियम का प्रयोग करने पर:

\(\rm \frac{dA}{dt}=\frac{dA}{dr}\times \frac{dr}{dt}\)

⇒ \(\rm \frac{dA}{dt}=2\pi r\times\frac{-2}{\pi}\ m^2/sec\)

⇒ \(\rm \frac{dA}{dt}=-4r\ m^2/sec\)

जब त्रिज्या 10 m है, तो क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर निम्न होगी: -40 m²/sec.

सूचना: परिवर्तन की दर का ऋणात्मक मान कमी को दर्शाता है।