यदि f(z) में z = a पर कोटि n का एक ध्रुव है, तो a पर फलन f(z) का अवशिष्ट क्या है?

अवशिष्ट प्रमेय:

यदि f(z), C में एकल बिंदुओं की एक सीमित संख्या पर छोड़कर एक बंद वक्र C में विश्लेषणात्मक होता है, तो$\underset{C}{\int }f\left(z\right)dz=2\pi i\times \left[\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{u}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{u}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{r}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{s}\mathrm{w}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{C}\right]$

अवशिष्ट ज्ञात करने का सूत्र:

1. यदि f(z) में z = a पर एक सरल ध्रुव है, तो $Resf\left(a\right)=\underset{z\to a}{lim}\left[\left(z-a\right)f\left(z\right)\right]$

2. यदि f(z) में z = a पर कोटि n का एक ध्रुव है, तो 

$Resf\left(a\right)=\frac{1}{\left(n-1\right)!}{\left\{\frac{d^{n-1}}{d{z}^{n-1}}\left[{\left(z-a\right)}^{n}f\left(z\right)\right]\right\}}_{z=a}$

महत्वपूर्ण बिंदु:

कॉची की प्रमेय:

यदि (z) एक विश्लेषणात्मक फलन है और f’(z) एक बंद वक्र C में और प्रत्येक बिंदु पर निरंतर होता है, तो

$\underset{C}{\oint }f\left(z\right)dz=0$

कॉची का समकाल सूत्र:

यदि f(z) एक बंद वक्र में विश्लेषणात्मक फलन है और यदि a, C में कोई बिंदु है, तो 

$f\left(a\right)=\frac{1}{2\pi i}\underset{C}{\oint }\frac{f\left(z\right)}{z-a}dz$

$f^n\left(a\right)=\frac{n!}{2\pi i}\underset{C}{\oint }\frac{f\left(z\right)}{{\left(z-a\right)}^{n+1}}dz$