Residue Theorem MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Residue Theorem - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

Last updated on Apr 5, 2025

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Latest Residue Theorem MCQ Objective Questions

Residue Theorem Question 1:

एक फलन  f(z)=1(z4)(z+1)3 के अवशेष हैं:

  1. 127and1125
  2. 1125and1125
  3. 127and15
  4. 1125and15
  5. उत्तर नहीं देना चाहते

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 1125and1125

Residue Theorem Question 1 Detailed Solution

संकल्पना​:

z = a, b, c… पर सरल अनंतक के लिए  

 {f(z)}z=a=limza{(za)×f(z)} का अवशेष है। 

z = a, a, a … n बार पर एकाधिक अनंतको के लिए  

{ f(z) का अवशेष }z=a  =1(n1)!{dn1dzn1(za)nf(z)}z=a

गणना​:

दिया गया है, f(z)=1(z4)(z+1)3

 z पर सरल अनंतक के लिए = 4

 {f(z) }z=4  का अवशेष =limz4{(z4).1(z4)(z+1)3}

=limz41(z+1)3153=1125

 z = -1 पर एकाधिक अनंतको (n = 3) के लिए

अवशेष निम्न होगा 

1(31)!{d2dz2(z+1)3.1(z4)(z+1)3}

z11(1)(2)21(z4)3

z11(z4)31(5)3=1125

Residue Theorem Question 2:

यदि f(z) में z = a पर कोटि n का एक ध्रुव है, तो a पर फलन f(z) का अवशिष्ट क्या है?

  1. 1(n)!{dn1dzn1((za)n1f(z))}z=a
  2. 1(n1)!{dn1dzn1((za)n1f(z))}z=a
  3. 1(n)!{dn1dzn1((za)nf(z))}z=a
  4. 1(n1)!{dn1dzn1((za)nf(z))}z=a
  5. उत्तर नहीं देना चाहते

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 1(n1)!{dn1dzn1((za)nf(z))}z=a

Residue Theorem Question 2 Detailed Solution

अवशिष्ट प्रमेय:

यदि f(z), C में एकल बिंदुओं की एक सीमित संख्या पर छोड़कर एक बंद वक्र C में विश्लेषणात्मक होता है, तोCf(z)dz=2πi×[sumofresiduesatthesingualrpointswithinC]

अवशिष्ट ज्ञात करने का सूत्र:

1. यदि f(z) में z = a पर एक सरल ध्रुव है, तो Resf(a)=limza[(za)f(z)]

2. यदि f(z) में z = a पर कोटि n का एक ध्रुव है, तो 

Resf(a)=1(n1)!{dn1dzn1[(za)nf(z)]}z=a

महत्वपूर्ण बिंदु:

कॉची की प्रमेय:

यदि (z) एक विश्लेषणात्मक फलन है और f’(z) एक बंद वक्र C में और प्रत्येक बिंदु पर निरंतर होता है, तो

Cf(z)dz=0

कॉची का समकाल सूत्र:

यदि f(z) एक बंद वक्र में विश्लेषणात्मक फलन है और यदि a, C में कोई बिंदु है, तो 

f(a)=12πiCf(z)zadz

fn(a)=n!2πiCf(z)(za)n+1dz

Residue Theorem Question 3:

z = ia के लिए 1(z2+a2)2 का अवशेष ____ है।

  1. 14a3
  2. i4a3
  3. 14a3
  4. i4a3
  5. उत्तर नहीं देना चाहते

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : i4a3

Residue Theorem Question 3 Detailed Solution

कॉची की अवशेष प्रमेय:

f(z) का अवशेष:

f(z) के अवशेष को Res[f(z) : z = z0के रूप में दर्शाया जाता है।

z0 फलन f(z) का एक साधारण ध्रुव है

यदि f(z) = p(z) / q(z)

जहां, p(z), q(z) बहुपद हैं

तब अवशेष निम्न है,

Res[f(z) : z = z0] = limzz0[(zz0)f(z)]

यदि f(z) में z = z0 पर कोटि 'm' का ध्रुव है तो

Res [f(z) : z = z0=1(m1)!{limzz0[dm1dzm1(zz0)mf(z)]}

गणना:

दिया है,

f(z)=1(z2+a2)2=1(z+ia)2(zia)2

f(z) के ध्रुव की कोटि "2" है

Res [f(z) : z = ia] =1(21)!{limzia[d(21)dz(21)(zia)21(z+ia)2(zia)2]}

=limzia{ddz1(z+ia)2}

=limzia2(z+ia)3

=i4a3

f(z) का अवशेष i4a3 है।

Residue Theorem Question 4:

यदि f(z) में z = a पर कोटि n का एक ध्रुव है, तो a पर फलन f(z) का अवशिष्ट क्या है?

  1. 1(n)!{dn1dzn1((za)n1f(z))}z=a
  2. 1(n1)!{dn1dzn1((za)n1f(z))}z=a
  3. 1(n)!{dn1dzn1((za)nf(z))}z=a
  4. 1(n1)!{dn1dzn1((za)nf(z))}z=a
  5. उत्तर नहीं देना चाहते

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 1(n1)!{dn1dzn1((za)nf(z))}z=a

Residue Theorem Question 4 Detailed Solution

अवशिष्ट प्रमेय:

यदि f(z), C में एकल बिंदुओं की एक सीमित संख्या पर छोड़कर एक बंद वक्र C में विश्लेषणात्मक होता है, तोCf(z)dz=2πi×[sumofresiduesatthesingualrpointswithinC]

अवशिष्ट ज्ञात करने का सूत्र:

1. यदि f(z) में z = a पर एक सरल ध्रुव है, तो Resf(a)=limza[(za)f(z)]

2. यदि f(z) में z = a पर कोटि n का एक ध्रुव है, तो 

Resf(a)=1(n1)!{dn1dzn1[(za)nf(z)]}z=a

महत्वपूर्ण बिंदु:

कॉची की प्रमेय:

यदि (z) एक विश्लेषणात्मक फलन है और f’(z) एक बंद वक्र C में और प्रत्येक बिंदु पर निरंतर होता है, तो

Cf(z)dz=0

कॉची का समकाल सूत्र:

यदि f(z) एक बंद वक्र में विश्लेषणात्मक फलन है और यदि a, C में कोई बिंदु है, तो 

f(a)=12πiCf(z)zadz

fn(a)=n!2πiCf(z)(za)n+1dz

Residue Theorem Question 5:

समाकल ∫C (z – 2)3 dz का मान, जहाँ C, |z – 2| = 4 के साथ एक वृत्त है, है:

  1. –64
  2. 64i
  3. 0
  4. –128
  5. उत्तर नहीं देना चाहते

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 0

Residue Theorem Question 5 Detailed Solution

कॉची समाकलन सूत्र:

यदि f(z) एक संवृत वक्र C के भीतर एक वैश्लेषिक फलन है और 'a', C के अंदर एक बिंदु है, तो,

Cf(z)zadz=2πif(a)

जहाँ, f(a) f(z) का अवशिष्ट है

अवशिष्ट निम्न द्वारा दिया जाता है: 

स्थिति 1: साधारण ध्रुव (z = a) के लिए:

f(a)=zaLt  [(za)f(z)]

स्थिति 2: पुनरावृत्त ध्रुव (z = a...........n बार) के लिए:

f(a)=zaLt  1(n1)![dn1dzn1(za)nf(z)]

गणना:

दिया गया है, संवृत वक्र (C) = |z – 2| = 4

| x + i y - 2 | = 4

(x2)2+y2=16

यह एक केंद्र (2,0) और त्रिज्या = 4 वाले एक वृत्त का प्रतिनिधित्व करता है।

F(z) = ∫C (z – 2)3 dz

दिए गए फलन में वृत्त में कोई ध्रुव नहीं है।

अतः, Cf(z)zadz=2πi(0)

F(z) = ∫C (z – 2)3 dz = 0

Top Residue Theorem MCQ Objective Questions

दिया गया है कि f(z)=z2z2+a2 । फिर

  1. z = ia एक साधारण ध्रुव है और ia2 f(z) के z = ia पर एक अवशेष है
  2. z = ia एक साधारण ध्रुव है और ia f(z) के z = ia पर एक अवशेष है
  3. z = ia एक साधारण ध्रुव है और ia2 f(z) के z = ia पर एक अवशेष है
  4. इनमें से कोई भी नहीं

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : z = ia एक साधारण ध्रुव है और ia2 f(z) के z = ia पर एक अवशेष है

Residue Theorem Question 6 Detailed Solution

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संकल्पना:

ध्रुव:

वह मान जिसके लिए f(z) मौजूद नहीं है अर्थात वह मान जिस पर फलन f(z) का हर = 0 है।

जब एक ध्रुव की कोटि 1 होती है तो इसे एक साधारण ध्रुव के रूप में जाना जाता है।

अवशेष:

यदि f(z) का z = a पर एक साधारण ध्रुव है तो

Resf(a)=limza(za)f(z)

यदि f(z) का z = a पर कोटि n का ध्रुव है तो

Res(atz=a)=1(n1)!{dn1dzn1[(za)nf(z)]}z=a

गणना:

दिया हुआ:

f(z)=z2z2+a2

ध्रुव की गणना के लिए:

z2 + a2 = 0

∴ (z + ia)(z - ai) = 0

∴ z = ai, -ai

∴ z का z = ai और -ai पर साधारण ध्रुव है।

अवशेष:

यदि f(z) का z = a पर एक साधारण ध्रुव है तो

Resf(a)=limza(za)f(z)

z = ai पर ध्रुव के लिए

Resf(ai)=limzai(zai)(z2z2+a2)

Resf(ai)=limzai(zai)(z2(zai)(z+ai))

Resf(ai)=(ai)22aiai2

z = - ai पर ध्रुव के लिए

Resf(ai)=limzai(z+ai)(z2(zai)(z+ai))

Resf(ai)=(ai)22aiai2

z का z = ai पर एक साधारण ध्रुव है और ia2, z पर एक अवशेष होता है = f (z) के लिए होता है।

z = 2 पर फलन f(z)=1(z+2)2(z2)2 का अवशिष्ट क्या है?

  1. 132
  2. 116
  3. 116
  4. 132

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : 132

Residue Theorem Question 7 Detailed Solution

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Resf(z)z=a=1(n1)!dn1dzn1(za)nf(z)]z=a

यहाँ हमारे पास n = 2 और a = 2 है

इस प्रकार Res f(z)z=2=1(21)!ddz[(z2)21(z2)2(z+2)2]z=2

=ddz[1(z+2)2]z=2=[2(z+2)3]z=2=264=132

f(z)=2z+1z2z2 का z = 2 पर अवशिष्ट क्या है?

  1. 53
  2. 13
  3. 35
  4. 23

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : 53

Residue Theorem Question 8 Detailed Solution

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संकल्पना:

ध्रुव - वह बिंदु जिसपर क्रियात्मक मान अनंत है। 

यदि z = a, f(z) का एक साधारण ध्रुव है, तो z = a पर f(z) के अवशिष्ट को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है,
Resz=af(z)=limza(za)f(z)

गणना:

दिया गया है:

f(z)=2z+1z2z2

हमें z = 2 पर अवशिष्ट ज्ञात करना है। 

f(z)=2z+1z2z2=2z+1(z2)(z+1)

f(z) का मान x = 2 पर अनंत है। इसलिए z = 2 एक साधारण ध्रुव है। 

z = 2 पर f(z) का अवशिष्ट, 

Resz=2f(z)=limz2(z2)×2z+1(z2)×(z+1)

=2×2+12+1=53

|z – 1| = 1 के चारों ओर वामावर्त्त दिशा में सम्मिश्र फलन f(z)=z2z21 का समाकलन क्या है?

  1. -πi
  2. 0
  3. πi
  4. 2πi

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : πi

Residue Theorem Question 9 Detailed Solution

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संकल्पना:

कॉची की प्रमेय:

यदि (z) एक विश्लेषणात्मक फलन है और f’(z) एक बंद वक्र C में और प्रत्येक बिंदु पर निरंतर होता है, तो

Cf(z)dz=0

कॉची का समकाल सूत्र:

यदि f(z) एक बंद वक्र में विश्लेषणात्मक फलन है और यदि a, C में कोई बिंदु है, तो 

f(a)=12πiCf(z)zadz

fn(a)=n!2πiCf(z)(za)n+1dz

अवशिष्ट प्रमेय:

यदि f(z), C में एकल बिंदुओं की एक सीमित संख्या पर छोड़कर एक बंद वक्र C में विश्लेषणात्मक होता है, तो

Cf(z)dz=2πi×[sumofresiduesatthesingualrpointswithinC]

अवशिष्ट ज्ञात करने का सूत्र:

1. यदि f(z) में z = a पर एक सरल ध्रुव है, तो

Resf(a)=limza[(za)f(z)]

2. यदि f(z) में z = a पर कोटि n का एक ध्रुव है, तो 

Resf(a)=1(n1)!{dn1dzn1[(za)nf(z)]}z=a

अनुप्रयोग:

दिया गया फलन f(z)=z2z21 है। 

ध्रुव: z = 1, -1

|z – 1| = 1

⇒ |x – 1 + iy| = 1

(x1)2+y2=1

दिया गया क्षेत्र (1, 0) पर केंद्र वाला एक वृत्त है और त्रिज्या 1 है। 

z = 1 पर केवल ध्रुव दिए गए क्षेत्र में है। 

z = 1 पर अवशिष्ट, limz1z2(z+1)=0.5 है। 

समाकल का मान = 2πi × 0.5 = πi

माना z = x + iy एक सम्मिश्र चर है। विचार करें कि इकाई वृत्त के अनुदिश वामावर्त दिशा में परिरेखा समाकलन किया जाता है। निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य नहीं है?

  1. The residue of zz21atz=1is1/2
  2. cz2dz=0
  3. 12πic1zdz=1
  4. z¯ (z का सम्मिश्र संयुग्मी) एक वैश्लेषिक फलन है

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : z¯ (z का सम्मिश्र संयुग्मी) एक वैश्लेषिक फलन है

Residue Theorem Question 10 Detailed Solution

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Residue of zz21atz=1is=limz1(z1).Zz21=limz1zz+1=12

cz2.dz=012πi1z.dz=12πi.2πi(1)=1z=x+iyandz¯=xiyi.e.u=xandv=yux=1andvy=1

uXvyz¯ वैश्लेषिक फलन नहीं है।

यदि f(z) में z = a पर कोटि n का एक ध्रुव है, तो a पर फलन f(z) का अवशिष्ट क्या है?

  1. 1(n)!{dn1dzn1((za)n1f(z))}z=a
  2. 1(n1)!{dn1dzn1((za)n1f(z))}z=a
  3. 1(n)!{dn1dzn1((za)nf(z))}z=a
  4. 1(n1)!{dn1dzn1((za)nf(z))}z=a

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 1(n1)!{dn1dzn1((za)nf(z))}z=a

Residue Theorem Question 11 Detailed Solution

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अवशिष्ट प्रमेय:

यदि f(z), C में एकल बिंदुओं की एक सीमित संख्या पर छोड़कर एक बंद वक्र C में विश्लेषणात्मक होता है, तोCf(z)dz=2πi×[sumofresiduesatthesingualrpointswithinC]

अवशिष्ट ज्ञात करने का सूत्र:

1. यदि f(z) में z = a पर एक सरल ध्रुव है, तो Resf(a)=limza[(za)f(z)]

2. यदि f(z) में z = a पर कोटि n का एक ध्रुव है, तो 

Resf(a)=1(n1)!{dn1dzn1[(za)nf(z)]}z=a

महत्वपूर्ण बिंदु:

कॉची की प्रमेय:

यदि (z) एक विश्लेषणात्मक फलन है और f’(z) एक बंद वक्र C में और प्रत्येक बिंदु पर निरंतर होता है, तो

Cf(z)dz=0

कॉची का समकाल सूत्र:

यदि f(z) एक बंद वक्र में विश्लेषणात्मक फलन है और यदि a, C में कोई बिंदु है, तो 

f(a)=12πiCf(z)zadz

fn(a)=n!2πiCf(z)(za)n+1dz

एक फलन  f(z)=1(z4)(z+1)3 के अवशेष हैं:

  1. 127and1125
  2. 1125and1125
  3. 127and15
  4. 1125and15

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 1125and1125

Residue Theorem Question 12 Detailed Solution

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संकल्पना​:

z = a, b, c… पर सरल अनंतक के लिए  

 {f(z)}z=a=limza{(za)×f(z)} का अवशेष है। 

z = a, a, a … n बार पर एकाधिक अनंतको के लिए  

{ f(z) का अवशेष }z=a  =1(n1)!{dn1dzn1(za)nf(z)}z=a

गणना​:

दिया गया है, f(z)=1(z4)(z+1)3

 z पर सरल अनंतक के लिए = 4

 {f(z) }z=4  का अवशेष =limz4{(z4).1(z4)(z+1)3}

=limz41(z+1)3153=1125

 z = -1 पर एकाधिक अनंतको (n = 3) के लिए

अवशेष निम्न होगा 

1(31)!{d2dz2(z+1)3.1(z4)(z+1)3}

z11(1)(2)21(z4)3

z11(z4)31(5)3=1125

एक जटिल कार्य के अवशेष X(z)=12zz(z1)(z2) इसके डंडे हैं

  1. 12,12and1
  2. 12,12and1
  3. 12,1and32
  4. 12,1and32

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 12,1and32

Residue Theorem Question 13 Detailed Solution

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संकल्पना:

अवशेष प्रमेय:

यदि C के भीतर विलक्षण बिंदुओं की परिमित संख्या को छोड़कर f(z) एक बंद वक्र C में विश्लेषणात्मक है तो

Cf(z)dz=2πi×[sumofresiduesatthesingualrpointswithinC]

अवशेष को खोजने के लिए सूत्र:

1. यदि f(z) का z = a पर एक साधारण ध्रुव है तो

Resf(a)=limza[(za)f(z)]

2. यदि f(z) का z = a पर कोटि n का ध्रुव है तो

Resf(a)=1(n1)!{dn1dzn1[(za)nf(z)]}z=a

गणना:

दिया हुआ:

X(z)=12zz(z1)(z2)

ध्रुव साधारण और z = 0, z = 1 और z = 2 पर स्थित होते हैं

Resf(a)=limza[(za)f(z)]

z = 0 पर अवशेष है:

Resf(0)=limz0(z0){12zz(z1)(z2)}

Resf(0)=12×0(01)(02)=12

z = 1 पर अवशेष है:

Resf(1)=limz1(z1){12zz(z1)(z2)}

Resf(1)=12×11(12)=1

z = 2 पर अवशेष है:

Resf(2)=limz2(z2){12zz(z1)(z2)}

Resf(2)=12×22(21)=32

 

समाकल ∫C (z – 2)3 dz का मान, जहाँ C, |z – 2| = 4 के साथ एक वृत्त है, है:

  1. –64
  2. 64i
  3. 0
  4. –128

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 0

Residue Theorem Question 14 Detailed Solution

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कॉची समाकलन सूत्र:

यदि f(z) एक संवृत वक्र C के भीतर एक वैश्लेषिक फलन है और 'a', C के अंदर एक बिंदु है, तो,

Cf(z)zadz=2πif(a)

जहाँ, f(a) f(z) का अवशिष्ट है

अवशिष्ट निम्न द्वारा दिया जाता है: 

स्थिति 1: साधारण ध्रुव (z = a) के लिए:

f(a)=zaLt  [(za)f(z)]

स्थिति 2: पुनरावृत्त ध्रुव (z = a...........n बार) के लिए:

f(a)=zaLt  1(n1)![dn1dzn1(za)nf(z)]

गणना:

दिया गया है, संवृत वक्र (C) = |z – 2| = 4

| x + i y - 2 | = 4

(x2)2+y2=16

यह एक केंद्र (2,0) और त्रिज्या = 4 वाले एक वृत्त का प्रतिनिधित्व करता है।

F(z) = ∫C (z – 2)3 dz

दिए गए फलन में वृत्त में कोई ध्रुव नहीं है।

अतः, Cf(z)zadz=2πi(0)

F(z) = ∫C (z – 2)3 dz = 0

फलन 1e2zz4 का इसके ध्रुव पर परिशिष्ट क्या है?

  1. 43
  2. 43
  3. 23
  4. 23

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 43

Residue Theorem Question 15 Detailed Solution

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f(z)=1e2zz4

फ़ंक्शन में z = 0 पर बहुविध ध्रुव हैं

यदि z = a, कोटि 'm' का एक ध्रुव है, तो z = a पर f(z) का परिशिष्ट है,

1(m1)!limzadm1dzm1[(za)mf(z)]

z = 0 परिशिष्ट है

=1(41)!limz0d3dz3(z4(1e2z)z4)

=16limz0d3dz3(1e2z)

=16limz0(8e2z)

=16×(8)=43

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