Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 3
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CRPF Head Constable & ASI Steno (Final Revision): Mini Mock Test
40 Qs. 40 Marks 45 Mins

Detailed Solution

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संकल्पना:

रैंक:

आव्यूह की रैंक एक संख्या है जो उच्चतम कोटि के गैर-लोपी गौण के कोटि के बराबर है, जिसे आव्यूह से बनाया जा सकता है।

आव्यूह A के लिए इसे ρ (A) द्वारा दर्शाया गया है।

आव्यूह की रैंक को r कहा जाता है यदि,

  • कोटि r का कम से कम एक गैर-शून्य गौण है।
  • r की तुलना में अधिक कोटि होनेवाले आव्यूह A का हर गौण शून्य है।

सोपानक रूप: आव्यूह को सोपानक रूप में तब कहा जाता है यदि

  1. प्रत्येक पंक्ति में अग्रगामी गैर-शून्य तत्व पिछले पंक्ति में अग्रगामी गैर-शून्य तत्वों के पीछे होता है।
  2. सभी शून्य पंक्तियाँ सभी गैर-शून्य पंक्तियों से नीचे हैं।

आव्यूह का सोपानक रूप और रैंक ज्ञात करने के लिए चरण:

  • सोपानक रूप में आव्यूह को कम करने के लिए हम आव्यूह पर गॉस उन्मूलन विधि को लागू कर सकते हैं और आव्यूह को अधिकतम त्रिभुजाकार आव्यूह (न्यूनतम बंद-विकर्ण तत्व शून्य है) में परिवर्तित कर सकते हैं।
  • तो हम आव्यूह का रैंक प्राप्त करने के लिए इस अधिकतम त्रिभुजाकार आव्यूह में गैर-शून्य पंक्तियों की संख्या की गणना कर सकते हैं। 

Calculation:

Let

 

by 

by 

The last equivalent matrix is in the echelon form. The number of non-zero rows in this matrix is 3. Therefore it's ranked in 3.

Hence rank A = 3.

Important Points

Other properties of the rank of a matrix are:

  • The rank of a matrix does not change by elementary transformation, we can calculate the rank by changing the matrix into Echelon form. In the Echelon form, the rank of a matrix is the number of non-zero rows of the matrix.
  • The rank of a matrix is zero if the matrix is null.
  • ρ(A) ≤ min (Row, Column)
  • ρ(AB) ≤ min [ρ(A), ρ(B)]
  • ρ(AA) = ρ(A AT) = ρ(A) = ρ(AT)
  • If A and B are matrices of the same order, then ρ(A + B) ≤ ρ(A) + ρ(B) and ρ(A - B) ≥ ρ(A) - ρ(B).
  • If Aθ is the conjugate transpose of A, then ρ(Aθ) = ρ(A) and ρ(A Aθ) = ρ(A).
  • The rank of a skew-symmetric matrix cannot be one.

Latest Indian Coast Guard Navik GD Updates

Last updated on Jul 4, 2025

-> The Indian Coast Guard Navik GD Application Correction Window is open now. Candidates can make the changes in the Application Forms through the link provided on the official website of the Indian Navy.

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