निम्नलिखित कथनों पर विचार कीजिए:

1. यदि ABC एक समकोण त्रिभुज है जो A पर समकोण है और यदि sin B=13, है, तो cosec C = 3 है। 

2. यदि b cos B = c cos C है और यदि त्रिभुज ABC समकोण त्रिभुज नहीं है, तो ABC समद्विबाहु होनी चाहिए। 

उपरोक्त कथनों में से कौन-सा/कौन-से कथन सही है/हैं?

This question was previously asked in
NDA (Held On: 6 Sep 2020) Maths Previous Year paper
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  1. केवल 1 
  2. केवल 2 
  3. 1 और 2 दोनों
  4. ना तो 1 और ना ही 2 

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : केवल 2 
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संकल्पना:

पाइथागोरस प्रमेय: एक समकोण त्रिभुज में कर्ण भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है। 

भुजाएं a, b, c होनेवाले त्रिभुज ABC में sine नियम:

F1 Amar Madhuri 02.02.2022 D1

sinAa=sinBb=sinCc=k

sin A - cos B =2cos(A+B2)sin(AB2)

 

गणना:

1. हमारे पास है,

sin B=13=PH

इसलिए, समकोण त्रिभुज को इस प्रकार खींचा जा सकता है,

F1 Aman Shraddha 11.09.2020 D2

यहाँ, P = 1
H = 3
B = x

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर,

32 = 12 + x2

x2 = 8

x=22

अब , Cosec C = 322

अत: कथन (1) सही नहीं है।

2. दिया गया है कि,

b cos B = c cos C

sine नियम का उपयोग करते हुए,

sinAa=sinBb=sinCc=1K

⇒ b = K sin B और c = K sin C

⇒ 2 sin B cos B = 2 sin C cos C

माना,
K = 2

⇒ 2 sin B cos B = 2 sin C cos C

⇒ sin 2B = sin 2C  [2 sin x cos x = sin 2x]

⇒ sin 2B - sin 2C = 0

सूत्र का उपयोग करने पर:

sin C - sin D = 2 cos (C+D2) × sin (CD2)

⇒ 2 cos (B + C) sin (B - C) = 0

इस मामले में,

या तो,

cos (B + C) = 0

इसलिये, (B + C) = 90° .... (1)

या,

या sin (B -C) = 0

B - C = 0

⇒ B = C  .... (2)

समीकरण (1) और (2) से,

B = C = 45°

अत: ABC समद्विबाहु होना चाहिए

अत: विकल्प (2) सही है

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