किसी पदार्थ के टुकड़े पर दो लंबवत तनन प्रतिबल (σ_x = 100 MPa और σ_y = 60 MPa) लगाए जाते हैं। उस तल का झुकाव (θ) क्या होगा जिस पर परिणामी प्रतिबल (R) अभिलम्ब के साथ अधिकतम तिरछापन (φ) रखता है?

व्याख्या:

अधिकतम तिरछापन के लिए तल का झुकाव निर्धारित करना:

जब किसी पदार्थ के टुकड़े पर दो लंबवत तनन प्रतिबल, σ_x और σ_y, लगाए जाते हैं, तो उस तल का झुकाव जिस पर परिणामी प्रतिबल (R) अभिलम्ब के साथ अधिकतम तिरछापन (φ) रखता है, सामग्री यांत्रिकी में प्रतिबल रूपांतरण के सिद्धांतों का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है।

इस समस्या में, हमें दिया गया है:

• σ_x = 100 MPa
• σ_y = 60 MPa

परिणामी प्रतिबल का अधिकतम तिरछापन तब होता है जब तल पर अपरूपण प्रतिबल (τ) अधिकतम होता है। यह आमतौर पर एक कोण θ पर होता है जहाँ तल इस प्रकार उन्मुख होता है कि अभिलम्ब प्रतिबल अपरूपण प्रतिबल द्वारा संतुलित होता है। मोहर के प्रतिबल वृत्त का उपयोग करके, तल का झुकाव θ पाया जा सकता है।

उस तल के झुकाव θ का सूत्र जिस पर परिणामी प्रतिबल R अभिलम्ब के साथ अधिकतम तिरछापन φ रखता है, निम्न द्वारा दिया गया है:

θ = tan^-1 (τ / σ)

यहाँ, τ तल पर अपरूपण प्रतिबल है और σ तल पर अभिलम्ब प्रतिबल है। दी गई समस्या के लिए, हमें अभिलम्ब और अपरूपण प्रतिबलों के बीच संबंध पर विचार करके θ के लिए सही व्यंजक प्राप्त करने की आवश्यकता है।

मोहर के वृत्त के सिद्धांत से, उस तल के झुकाव θ जिस पर परिणामी प्रतिबल का अधिकतम तिरछापन होता है, को इस प्रकार व्युत्पन्न किया जा सकता है:

θ = tan^-1 (σ_x / σ_y)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

θ = tan^-1 (100 / 60)

इस व्यंजक को सरल करने पर, हमें प्राप्त होता है:

\( \theta=\tan ^{-1} \sqrt{\frac{5}{3}}\)

इसलिए, उस तल का सही झुकाव θ जिस पर परिणामी प्रतिबल का अधिकतम तिरछापन होता है, है:

\( \theta=\tan ^{-1} \sqrt{\frac{5}{3}}\)