Latus Rectum MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Latus Rectum - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

मान लीजिए दिए गए अतिपरवलय का समीकरण है।

तब इसके नाभिलंब और अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई क्रमशः और है।

इसलिए, हमारे पास है। अर्थात्, .

साथ ही,

अर्थात्,

अर्थात्,

इसलिए, अतिपरवलय का समीकरण है।

अर्थात्,

परवलय के नाभिलंब के सिरों के निर्देशांक क्रमशः और हैं। पर के अभिलंब का समीकरण है:

इसी प्रकार, पर अभिलंब का समीकरण है:

तब संयुक्त समीकरण है:

नाभिलंब  के लिए,

 और

किसी भी बिंदु के लिए, नाभि दूरी है।

...... (i)

..... (ii)

समीकरण (i) से,

संकल्पना:

केंद्र पर शीर्ष और X - अक्ष के साथ परवलय का समीकरण: y2 = 4ax,

नाभिलंब की लम्बाई = 4a

गणना:

परवलय का मानक रूप: y2 = 4ax          ....(1)

हमारे पास निम्न हैं,  

दिए गए समीकरण  की तुलना समीकरण (1) के साथ करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है,

4a = 21

∴ नाभिलंब की लम्बाई 21 इकाई है। 

अतः विकल्प (2) सही है।          

संकल्पना:

परवलय,  x2 = 4ay, जहाँ a > 0 है, तो 

संचालिका  का समीकरण,  y + a = 0

परवलय, x2 = - 4ay, जहाँ a > 0 है, तो 

संचालिका  का समीकरण, y - a = 0 

गणना:

दिया गया परवलयिक समीकरण, x2 = - 22y 

मानक समीकरण के साथ तुलना करने पर, x² = -4ay, हमें निम्न प्राप्त होता है, a =  

हम जानते हैं कि, संचालिका का समीकरण, y - a = 0

⇒ y -  = 0

⇒ 2y - 11 = 0 

सही विकल्प 1 है। 

संकल्पना:

एक आयताकार अतिपरवलय   के गुण निम्न हैं:

• इसका केंद्र निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: (0, 0)
• इसका केंद्र बिंदु निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: (- ae, 0) और (ae, 0)
• इसके शीर्ष को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: (- a, 0) और (a, 0)
• इसकी उत्केंद्रता को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: 
• अनुप्रस्थ अक्ष की लम्बाई = 2a और इसका समीकरण y = 0 है। 
• संयुग्म अक्ष की लम्बाई = 2b और इसका समीकरण x = 0 है। 
• इसके लैटस रेक्टम की लम्बाई को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: 

गणना:

दिया गया है: अतिपरवलय का समीकरण x2 - y2 =  1 है। 

चूँकि हम देख सकते हैं कि, दिया गया अतिपरवलय एक क्षैतिज अतिपरवलय है। 

इसलिए, अतिपरवलय के दिए गए समीकरण की तुलना  के साथ करने पर हमें निम्न प्राप्त होता है, 

⇒ a = 1 और b = 1

चूँकि हम जानते हैं कि, एक अतिपरवलय के लैटस रेक्टम की लम्बाई को  द्वारा ज्ञात किया गया है।

इसलिए, दिए गए अतिपरवलय के लिए लैटस रेक्टम की लम्बाई 2 इकाई है। 

अतः विकल्प D सही उत्तर है। 

संकल्पना:

y2 = - 4ax रूप वाले परवलय के गुण निम्नलिखित हैं जहाँ a > 0 है। 

• केंद्र बिंदु (-a, 0) दिया गया है। 
• शीर्ष (0, 0) दिया गया है। 
• संचालिका का समीकरण निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: x = a 
• अक्ष का समीकरण निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: y = 0 
• लैटस रेक्टम का लम्बाई को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: 4a 
• लैटस रेक्टम का समीकरण निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: x = - a 

गणना:

दिया गया है: परवलय का समीकरण y2 = - 12x है। 

दिए गए समीकरण को निम्न रूप में पुनःलिखा जा सकता है: y2 = - 4 ⋅ 3 ⋅ x----(1)

अब समीकरण (1) की तुलना y2 = - 4ax के साथ करने पर हमें निम्न प्राप्त होता है 

⇒ a = 3

चूँकि हम जानते हैं कि, एक परवलय के लैटस रेक्टम की लम्बाई को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: 4a

इसलिए, दिए गए परवलय के लैटस रेक्टम की लम्बाई: 4 ⋅ 3 = 12 इकाई है। 

अतः विकल्प B सही उत्तर है। 

संकल्पना:

x² = - 4ay रूप वाले परवलय के गुण निम्नलिखित हैं जहाँ a > 0 है। 

• केंद्र बिंदु (0, - a) दिया गया है। 
• शीर्ष (0, 0) दिया गया है। 
• संचालिका का समीकरण निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: y = a
• अक्ष का समीकरण निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: x = 0 
• लैटस रेक्टम की लम्बाई को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: 4a 
• लैटस रेक्टम के समीकरण को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: y = - a 

गणना:

दिया गया है: परवलय का समीकरण x² = - 8y है। 

परवलय के दिए गए समीकरण को निम्न रूप में पुनःलिखा जा सकता है: x² = - 4 ⋅ 2y         ---(1)

अब समीकरण (1) की तुलना x² = - 4ay के साथ करने पर हमें निम्न प्राप्त होता है 

⇒ a = 2

चूँकि हम जानते हैं कि, x² = - 4ay रूप वाले एक परवलय के संचालिका के समीकरण को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: y = a

इसलिए, दिए गए परवलय के संचालिका का समीकरण: y = 2 है। 

अतः विकल्प B सही उत्तर है। 

संकल्पना:

परवलय,  x2 = 4ay, जहाँ a > 0 है, तो 

संचालिका  का समीकरण,  y + a = 0

परवलय, x2 = - 4ay, जहाँ a > 0 है, तो 

संचालिका  का समीकरण, y - a = 0 

गणना:

दिया गया परवलयिक समीकरण, x2 = - 22y 

मानक समीकरण के साथ तुलना करने पर, x² = -4ay, हमें निम्न प्राप्त होता है, a =  

हम जानते हैं कि, संचालिका का समीकरण, y - a = 0

⇒ y -  = 0

⇒ 2y - 11 = 0 

सही विकल्प 1 है। 

संकल्पना:

केंद्र पर शीर्ष और X - अक्ष के साथ परवलय का समीकरण: y2 = 4ax,

नाभिलंब की लम्बाई = 4a

गणना:

परवलय का मानक रूप: y2 = 4ax          ....(1)

हमारे पास निम्न हैं,  

दिए गए समीकरण  की तुलना समीकरण (1) के साथ करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है,

4a = 21

∴ नाभिलंब की लम्बाई 21 इकाई है। 

अतः विकल्प (2) सही है।          

संकल्पना:

परवलय: एक बिंदु का बिंदुपथ जो इस प्रकार गति करता है जिससे एक निर्दिष्ट बिंदु से इसकी दूरी एक निर्दिष्ट सीधी रेखा से इसकी दूरी के बराबर होती है। (उत्केंद्रता = e = 1)

गणना:

दिया गया है: x2 = 44y

x² = 4ay के साथ समीकरण की तुलना करने पर
4a = 44

a = 11

अक्ष के लंबवत फोकस से होकर गुजरने वाली रेखा नाभी लम्ब होती है। 

नाभी लम्ब का समीकरण y = a है। 

y = 11

संकल्पना:

परवलय,  y2 = 4ax, जहाँ a > 0 है, तो 

नाभिलंब का समीकरण,  x = a या x - a = 0

गणना:

दिया गया परवलयिक समीकरण, y2 = 14x  

मानक समीकरण के साथ तुलना करने पर  y2 = 4ax, हमें निम्न प्राप्त होता है, a =   

हम जानते हैं कि, नाभिलंब का समीकरण, x - a = 0  

⇒ x -  = 0 

⇒ 2x - 7 = 0

सही विकल्प 4 है। 

अवधारणा:

परवलय, y2 = 4ax, जहां a> 0, तब

नाभिलंब का समीकरण,  x - a = 0

परवलय, y 2 = - 4ax , जहां a> 0, तब

नाभिलंब का समीकरण, x + a = 0

गणना:

परवलयिक समीकरण को देखते हुए, y2 = 30x  

मानक समीकरण के साथ तुलना करने पर, y2 = 4ax , हमें मिलता है a =

हम जानते हैं कि नाभिलंब का समीकरण, x - a = 0

⇒ x - = 0

⇒ 2x - 15 = 0 

सही विकल्प 2 है।

संकल्पना:

परवलय, x2 = 4ay, जहाँ a > 0 है, तो 

नाभिलंब की लम्बाई = 4a 

परवलय, x2 = - 4ay, जहाँ a > 0 है, तो 

नाभिलंब की लम्बाई = 4a 

गणना:

दिया गया परवलयिक समीकरण, x² = - 6y

मानक समीकरण के साथ तुलना करने पर, a =  

हम जानते हैं कि, नाभिलंब की लम्बाई = 4a

नाभिलंब  = 4a 

⇒ नाभिलंब  = 4×  

⇒ नाभिलंब  = 6 इकाई 

सही विकल्प 2 है। 

संकल्पना:

x2 = - 4ay रूप वाले परवलय के गुण निम्नलिखित हैं जहाँ a > 0 है। 

• केंद्र बिंदु (0, - a) दिया गया है। 
• शीर्ष (0, 0) दिया गया है। 
• संचालिका का समीकरण निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: y = a
• अक्ष का समीकरण निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: x = 0 
• लैटस रेक्टम की लम्बाई को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: 4a 
• लैटस रेक्टम के समीकरण को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: y = - a 

गणना:

दिया गया है: परवलय का समीकरण x2 = - 8y है। 

परवलय के दिए गए समीकरण को निम्न रूप में पुनःलिखा जा सकता है: x2 = - 4 ⋅ 2y----------(1)

अब समीकरण (1) की तुलना x2 = - 4ay के साथ करने पर हमें निम्न प्राप्त होता है 

⇒ a = 2

चूँकि हम जानते हैं कि, x2 = - 4ay रूप वाले एक परवलय के लैटस रेक्टम के समीकरण को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: y = - a

इसलिए, दिए गए परवलय के लैटस रेक्टम का समीकरण: y = - 2 है। 

अतः विकल्प A सही उत्तर है।