Integration using Substitution MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Integration using Substitution - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

प्रयुक्त अवधारणा:

d(u × v) = u × dv + v × du

गणना:

माना, xe^x = t 

t के संबंध में अवकल निम्नानुसार है:

(xe^x + e^x) dx = dt 

ex (x + 1) dx = dt 

अब, ∫(1/cos²t) dt

⇒ ∫sec²t dt 

⇒ tant + c

∴​  = tan(xe^x) + c

प्रयुक्त सूत्र:

cos2x = cos²x - sin²x

tanx = sinx/cosx

 = sin^-1x + c

गणना:

माना,

I = 

⇒ I =  

⇒ I = 

⇒ I = 

माना tanx = t 

t के सापेक्ष में अवकलन 

⇒ I = (sec²x) dx = dt

⇒ I = 

⇒ sin^-1t + c

∴ sin^-1(tanx) + c

हल

⇒ 

पद को उसके संयुग्मी से विभाजित और गुणा करते हैं

⇒  × dx

⇒   ...(1 - sin²x = cos²x)

⇒  =  

चूँकि, (1/cos²x = sec²x and sin/cos²x = tan x × sec x) 

⇒ ∫(sec²x - tan x sec x) dx

⇒ ∫sec²x dx - ∫tan x sec x dx

⇒ tan x - sec x + c

सही विकल्प 2 है। 

प्रयुक्त सूत्र:

2 sin x cos x =sin 2x

गणना:

माना  . . .(1)

अब, sin x - cos x = t रखने पर 

⇒​ ( sin x + cos x ) dx = dt

और (sin x - cos x)² = t²

⇒ 1 - 2 sin x cos x =  t2

⇒ 1 - sin 2x =  t2

⇒ 1 - t2  =  sin 2x

सभी मानों को (1) में रखने पर 

संकल्पना:

गणना:

I = 

= 

माना कि 5x = t है। 

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

⇒ 5dx = dt

⇒ dx = 

अब, 

I = 

=  + c

=  + c

संकल्पना:

गणना:

I = 

माना कि 2x + 3 = t² है। 

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

⇒ 2dx = 2tdt

⇒ dx = tdt

अब, 

I = 

= 

= 

∵ 2x + 3 = t2

⇒  (2x + 3)1/2 = t

⇒ (2x + 3)3/2 = t3

⇒ I = 

संकल्पना:

गणना:

I = 

माना कि 5x = t है। 

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

⇒ 5dx = dt

⇒ dx = 

अब,

I = 

= 

= 

अवधारणा:

= .....(i)

गणना:

माना, x2 = u

समीकरण (i) से

=

= u + + + C

अब  u का मान रखते हुए,

​⇒  = x2 +​  +  + C

∴ आवश्यक समाकलन x2 +​  +  + C है

संकल्पना:

गणना:

I = 

माना कि 4x - 3 = t² है 

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

⇒ 4dx = 2tdt

⇒ dx =dt

अब, 

I = 

= 

= 

= 

अवधारणा:

समाकल का गुण:

• ∫ x n dx = + C; n ≠ -1
• + C

गणना:

माना I =

I =

माना 1 + x 2 = t

⇒ 2x dx = dt

I =

=

=

=              [∵ n log m = log mn]

गणना:

दिया हुआ: और 

⇒  , log x = z रखें

जैसे कि x = e^z

जैसे कि dx = e^z dz 

जब x = e, z = loge तब

x = e², z = log e² = 2 log e = z 

जैसे कि I₁ = (e^z dz) / z =  (e^x/z) dx = I2 

जैसे कि I₁ = I₂

⇒ I1 - I2 = 0 

संकल्पना:

sin 2x = 2sin x cos x

∫(1/x)dx = log x + c

∫tanx dx = sec²x + c  

गणना:

माना कि I =          ....(1)

log (tan x) = t लेने पर

⇒ 

⇒ 

⇒ dx = sin x.cos x dt

समीकरण (i) में log (tan x) और dx का मान रखने पर 

अब, I = 

= ∫ dt

= log t + c

= log [log(tan x)] + c

अवधारणा:

गणना:

माना, I =

=                     (∵ )

=

अब, माना ex = t

⇒ ex dx = dt

∴ I =

=                          (∵  )

=                      (∵ ex = t)

इसलिए, विकल्प (4) सही है।

संकल्पना:

गणना:

I = ∫ cot 2x dx

माना कि sin 2x = t है। 

x के संबंध में अवकलज करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

⇒ 2 cos 2x dx = dt

⇒ cos 2x dx = 

= 

=