Evaluate using Trigonometric Identities MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Evaluate using Trigonometric Identities - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

हमें दिया गया समाकल है:

समाकल: I =

चरण 1: प्रतिस्थापन कीजिए। 

मान लीजिए u = a + bx², तब du = 2bx dx.

इसलिए, x dx = du / (2b).

प्रतिस्थापन के बाद, सीमाएँ बदल जाती हैं: जब x = 0, u = a, और

जब x = 1, u = a + b हो 

समाकल बन जाता है:

I = 1 / (2b) ∫_a^a+b (2a - u) / u² du

चरण 2: समाकल को वियोजित कीजिए। 

I = 1 / (2b) [ 2a ∫_a^a+b 1/u² du - ∫_a^a+b 1/u du ]

प्रत्येक भाग को इस प्रकार हल किया जाता है:

• ∫_a^a+b 1/u² du = [ -1/u ]_a^a+b = 1/a - 1/(a+b)
• ∫_a^a+b 1/u du = ln(u)_a^a+b = ln(a+b) - ln(a)

इस प्रकार, समाकल बन जाता है:

I = 1 / (2b) [ 2a (1/a - 1/(a+b)) - (ln(a+b) - ln(a)) ]

अंतिम परिणाम:

समाकल का मान: I = 1 / (a + b) है। 

गणना

मान लीजिए, x = sin²θ dx = 2sinθcosθdθ

⇒

⇒ I (9, 14) + I (10, 13) =

⇒

⇒ I (9, 13)

इसलिए, विकल्प 4 सही है। 

गणना

=

= -x³ cos x + 3x² sin x + 6x cos x - 6 sin x + c

इसलिए, g(x) = -x3 cos x + 3x2 sin x + 6x cos x - 6 sin x

g'(x) = 3x² cos x + x³ sin x + 6cos x - 6cos x

इसलिए, α + β - γ = 1 + 6 - (-48) = 55

अतः विकल्प 1 सही है।

प्रयुक्त अवधारणा:

गणना:

⇒

⇒

मान लीजिए, और

J में, मान लीजिए , इसलिए  है। जब , और जब ,  है। 

⇒

इसलिए, .

अतः विकल्प 2 सही है। 

गणना

माना

माना

⇒

⇒

⇒

⇒

खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,

माना ,

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

∴ समाकलन   है।

इसलिए विकल्प 2 सही है।

संकल्पना:

• sin2 x + cos2 x = 1
• sin 2A = 2 sin A cos A
• ∫ cos x = sin x

• ∫ sin x = -cos x

गणना:

इसलिए,

संकल्पना:

गणना:

माना कि, 

                  (  = 1)

माना कि 

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

→ x = 0, t = 0

→ x = 1, t = 1/4 = 0.25

अतः विकल्प (4) सही है। 

संकल्पना:

1 + tan² x = sec² x

गणना:

             (∵ 1 + tan² x = sec² x)

माना कि tan x = t है। 

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

⇒ sec2 x dx = dt

∴ समाकल ​

​का मान 1/2 है।

अवधारणा:

गणना:

दिया हुआ: 

                  (1 = )

= 

= 

= 

= 0

संकल्पना:

निश्चित समाकल:

यदि ∫ f(x) dx = g(x) + C तो  = g(b) - g(a)

त्रिकोणमितीय सार्वसमिकाएँ:

cos 2x = 2 cos² x - 1

गणना:

माना कि I = 

⇒ I = 

⇒ I = 

⇒ I = 

⇒ I = 

⇒ I = 

संकल्पना:

गणना:

माना कि   है। 

अतः विकल्प (4) सही है। 

अवधारणा:

sin² x + cos² x = 1

गणना:

I = 

= 

= 

माना कि sin x = u

cos x dx = du

= 

= 

= 1 - 0 - 

= 

प्रयुक्त सूत्र:

tan(π - θ) = - tan θ  

गणना:

माना

I =         ----(1)

प्रयुक्त सूत्र के अनुसार

I =

⇒ I = - 

⇒ I = -I

⇒ 2I = 0

⇒ I = 0

∴समाकल का मान 0 के बराबर है

संकल्पना:

निश्चित समाकल:

यदि ∫ f(x) dx = g(x) + C तो  = g(b) - g(a)

गणना:

माना कि I = 

⇒ I = 

⇒ I = 

⇒ I = 0

संकल्पना:

cot² x = cosec² x - 1 

गणना:

I =  

I =  

I =  

I =  

I =  

I =            ...(1)

माना कि sin x = t है। 

x के संबंध में दोनों पक्ष का अवकलन करने पर,

cos x dx = dt   

यदि x = 0 है, तो t = 0 है। 

x = π /4 , तो = t =  

समीकरण (1) में उपरोक्त मानों को रखने पर 

I =   

I =  

I =   

I = ∞  

∴ सही विकल्प 4) है।