Distribution MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Distribution - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Jul 1, 2025
Latest Distribution MCQ Objective Questions
Distribution Question 1:
मान लीजिए X₁ , X₂ , X₃ एक संतत बंटन से लिया गया यादृच्छिक प्रतिदर्श है जिसका संचयी बंटन फलन F(t), प्रायिकता घनत्व फलन f(t), और विफलता दर फलन
Answer (Detailed Solution Below)
Distribution Question 1 Detailed Solution
संप्रत्यय:
प्राचल
व्याख्या:
विकल्प 1: दो स्वतंत्र चरघातांकी यादृच्छिक चरों
और
यह व्यंजक
विकल्प 2: दो स्वतंत्र चरघातांकी यादृच्छिक चरों
यह
विकल्प 3: तीन स्वतंत्र चरघातांकी यादृच्छिक चरों के लिए, हमें यह प्रायिकता ज्ञात करने की आवश्यकता है कि
जिसे चरघातांकी बंटनों का एक मानक गुणधर्म माना जाता है। इस परिदृश्य के लिए प्रायिकता
विकल्प 4: इसी प्रकार, चरघातांकी बंटन के गुणधर्मों और कोटि सांख्यिकी की तुलना का उपयोग करके, यह प्रायिकता
कि
इसलिए, विकल्प 3) और 4) सही हैं।
Distribution Question 2:
मान लीजिए X1....Xn (n ≥ 3) एक यादृच्छिक प्रतिदर्श है जिसका प्रायिकता घनत्व फलन
जहाँ θ > 0 एक अज्ञात प्राचल है। मान लीजिए
Answer (Detailed Solution Below)
Distribution Question 2 Detailed Solution
संप्रत्यय:
चरघातांकी बंटन के लिए प्रायिकता घनत्व फलन (PDF)
चरघातांकी बंटन का प्रायिकता घनत्व फलन (PDF) इस प्रकार दिया गया है:
यहाँ,
एक स्थिर औसत दर पर (जैसे, प्वासों प्रक्रिया)।
प्रतिदर्श
प्रतिदर्श माध्य
व्याख्या: आप जिस समस्या से निपट रहे हैं, उसमें दिए गए प्रायिकता घनत्व फलन (PDF) वाले बंटन से एक यादृच्छिक प्रतिदर्श
जहाँ
विकल्प 1: चरघातांकी बंटन के लिए, प्रतिदर्श माध्य
अनभिनत आकलक है। इसलिए,
विकल्प 2: चरघातांकी बंटन
इसलिए, आकार n के एक प्रतिदर्श के लिए, फिशर सूचना
इसलिए, विकल्प 2 सही है।
विकल्प 3:
विकल्प 4: प्रायिकता
(CDF):
इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि
सही कथन विकल्प 1), विकल्प 2) और विकल्प 4) हैं।
Distribution Question 3:
मान लीजिए कि लंबाई α वाले रेखाखंड AB पर यादृच्छिक रूप से एक बिंदु P चुना जाता है। मान लीजिए कि Z₁ और Z₂ क्रमशः रेखाखंडों AP और BP की लंबाइयों को दर्शाते हैं। तब E(|Z₁ - Z₂|) का मान है:
Answer (Detailed Solution Below)
Distribution Question 3 Detailed Solution
संप्रत्यय:
प्रत्याशित मान की गणना:
प्रत्याशित मान
व्याख्या:
आइए हम चर
इस प्रकार,
हम
चूँकि P को रेखाखंड के साथ समान रूप से चुना जाता है,
अब, हम प्रत्याशित मान
समाकल को पृथक करने पर,
व्यंजक
इसलिए, हम समाकल को दो भागों में विभाजित करते हैं:
इसलिए, प्रत्याशित मान बन जाता है:
पहला समाकल
दूसरा समाकल
इसलिए, विकल्प 3) सही है।
Distribution Question 4:
ऐसी प्रणाली के विषय में सोचिए जिसके दो घटकों के जीवनकाल उनकी क्षय दर (hazard rate) λ के साथ i.i.d. चर घातांकी हैं। यदि इन घटकों को श्रेणी क्रम तथा समांतर क्रम में रखे जाने पर प्रणाली के क्षय फलन (hazard functions) h1 तथा h2 हों, तो निम्न में से कौन - से सत्य हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Distribution Question 4 Detailed Solution
Distribution Question 5:
मानिए कि एक अज्ञात प्रायिकता बंटन से युक्तिसंगत रूप से बड़े प्रादर्श x1,... xn का उपयोग करते हुए एक प्रसामान्य Q - Q आरेख बनाया जाता है। निम्न में से किस बंटन के लिए Q - Q आरेख के उत्तल होने की अपेक्षा है (J की आकृति का)?
Answer (Detailed Solution Below)
Distribution Question 5 Detailed Solution
Top Distribution MCQ Objective Questions
मान लीजिए कि लंबाई α वाले रेखाखंड AB पर यादृच्छिक रूप से एक बिंदु P चुना जाता है। मान लीजिए कि Z₁ और Z₂ क्रमशः रेखाखंडों AP और BP की लंबाइयों को दर्शाते हैं। तब E(|Z₁ - Z₂|) का मान है:
Answer (Detailed Solution Below)
Distribution Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFसंप्रत्यय:
प्रत्याशित मान की गणना:
प्रत्याशित मान
व्याख्या:
आइए हम चर
इस प्रकार,
हम
चूँकि P को रेखाखंड के साथ समान रूप से चुना जाता है,
अब, हम प्रत्याशित मान
समाकल को पृथक करने पर,
व्यंजक
इसलिए, हम समाकल को दो भागों में विभाजित करते हैं:
इसलिए, प्रत्याशित मान बन जाता है:
पहला समाकल
दूसरा समाकल
इसलिए, विकल्प 3) सही है।
यदि सामान्य प्रायिकता घनत्व फलन
तो प्रतिदर्शज
Answer (Detailed Solution Below)
Distribution Question 7 Detailed Solution
Download Solution PDFदिया गया है:-
X1, X2, ..., Xn स्वतंत्र और समान रूप से बंटित (i.i.d.) यादृच्छिक चर हैं जिनका सामान्य प्रायिकता घनत्व फलन (pdf) है
प्रयुक्त अवधारणा:-
यह जाँचने के लिए कि क्या T = ∑ᵢ Xᵢ प्राचल θ के लिए पर्याप्त प्रतिदर्शज है, हमें प्रतिदर्श के संभाविता फलन को ज्ञात करने की आवश्यकता है।
व्याख्या:-
प्रतिदर्श का संयुक्त प्रायिकता घनत्व फलन निम्न द्वारा दिया गया है
कारक प्रमेय कहता है कि एक सांख्यिकी T प्राचल θ के लिए पर्याप्त है यदि और केवल यदि प्रतिदर्श का संयुक्त प्रायिकता घनत्व फलन दो फलनों में विभाजित किया जा सकता है।
एक जो केवल T के माध्यम से प्रतिदर्श पर निर्भर करता है, और दूसरा जो θ पर निर्भर नहीं करता है।
हम प्रतिदर्श के संयुक्त प्रायिकता घनत्व फलन को इस प्रकार पुनर्लेखित कर सकते हैं
⇒
यहाँ,
चूँकि संयुक्त प्रायिकता घनत्व फलन को इस प्रकार विभाजित किया जा सकता है, इसलिए T, θ के लिए एक पर्याप्त प्रतिदर्शज है।
यह जाँचने के लिए कि क्या T पूर्ण है, हमें यह दिखाने की आवश्यकता है कि T प्रतिदर्श में निहित θ के बारे में सभी जानकारी को ग्रहण करने में सक्षम है।
दूसरे शब्दों में, T का कोई भी फलन जो θ से स्वतंत्र है, उसका अपेक्षित मान 0 के बराबर होना चाहिए।
मान लीजिए कि h(T), T का एक फलन है जो θ से स्वतंत्र है। तब
चूँकि θ > 1, \log θ > 0 है, और समाकल्य [0,1] पर धनात्मक है।
इसलिए, यदि सभी θ > 1 के लिए E[h(T)] = 0, तो h(T) लगभग सर्वत्र [0,1] पर शून्य होना चाहिए।
यह दर्शाता है कि T, θ के लिए एक पूर्ण, पर्याप्त प्रतिदर्शज है।
इसलिए, प्रतिदर्शज
इसलिए, सही विकल्प 3 है।
Distribution Question 8:
मान लीजिए X ~ पॉइसन
Answer (Detailed Solution Below)
Distribution Question 8 Detailed Solution
सही उत्तर विकल्प 2 है
हम जल्द से जल्द समाधान अपडेट करेंगे।
Distribution Question 9:
मान लीजिए कि लंबाई α वाले रेखाखंड AB पर यादृच्छिक रूप से एक बिंदु P चुना जाता है। मान लीजिए कि Z₁ और Z₂ क्रमशः रेखाखंडों AP और BP की लंबाइयों को दर्शाते हैं। तब E(|Z₁ - Z₂|) का मान है:
Answer (Detailed Solution Below)
Distribution Question 9 Detailed Solution
संप्रत्यय:
प्रत्याशित मान की गणना:
प्रत्याशित मान
व्याख्या:
आइए हम चर
इस प्रकार,
हम
चूँकि P को रेखाखंड के साथ समान रूप से चुना जाता है,
अब, हम प्रत्याशित मान
समाकल को पृथक करने पर,
व्यंजक
इसलिए, हम समाकल को दो भागों में विभाजित करते हैं:
इसलिए, प्रत्याशित मान बन जाता है:
पहला समाकल
दूसरा समाकल
इसलिए, विकल्प 3) सही है।
Distribution Question 10:
ऐसी प्रणाली के विषय में सोचिए जिसके दो घटकों के जीवनकाल उनकी क्षय दर (hazard rate) λ के साथ i.i.d. चर घातांकी हैं। यदि इन घटकों को श्रेणी क्रम तथा समांतर क्रम में रखे जाने पर प्रणाली के क्षय फलन (hazard functions) h1 तथा h2 हों, तो निम्न में से कौन - से सत्य हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Distribution Question 10 Detailed Solution
Distribution Question 11:
यदि सामान्य प्रायिकता घनत्व फलन
तो प्रतिदर्शज
Answer (Detailed Solution Below)
Distribution Question 11 Detailed Solution
दिया गया है:-
X1, X2, ..., Xn स्वतंत्र और समान रूप से बंटित (i.i.d.) यादृच्छिक चर हैं जिनका सामान्य प्रायिकता घनत्व फलन (pdf) है
प्रयुक्त अवधारणा:-
यह जाँचने के लिए कि क्या T = ∑ᵢ Xᵢ प्राचल θ के लिए पर्याप्त प्रतिदर्शज है, हमें प्रतिदर्श के संभाविता फलन को ज्ञात करने की आवश्यकता है।
व्याख्या:-
प्रतिदर्श का संयुक्त प्रायिकता घनत्व फलन निम्न द्वारा दिया गया है
कारक प्रमेय कहता है कि एक सांख्यिकी T प्राचल θ के लिए पर्याप्त है यदि और केवल यदि प्रतिदर्श का संयुक्त प्रायिकता घनत्व फलन दो फलनों में विभाजित किया जा सकता है।
एक जो केवल T के माध्यम से प्रतिदर्श पर निर्भर करता है, और दूसरा जो θ पर निर्भर नहीं करता है।
हम प्रतिदर्श के संयुक्त प्रायिकता घनत्व फलन को इस प्रकार पुनर्लेखित कर सकते हैं
⇒
यहाँ,
चूँकि संयुक्त प्रायिकता घनत्व फलन को इस प्रकार विभाजित किया जा सकता है, इसलिए T, θ के लिए एक पर्याप्त प्रतिदर्शज है।
यह जाँचने के लिए कि क्या T पूर्ण है, हमें यह दिखाने की आवश्यकता है कि T प्रतिदर्श में निहित θ के बारे में सभी जानकारी को ग्रहण करने में सक्षम है।
दूसरे शब्दों में, T का कोई भी फलन जो θ से स्वतंत्र है, उसका अपेक्षित मान 0 के बराबर होना चाहिए।
मान लीजिए कि h(T), T का एक फलन है जो θ से स्वतंत्र है। तब
चूँकि θ > 1, \log θ > 0 है, और समाकल्य [0,1] पर धनात्मक है।
इसलिए, यदि सभी θ > 1 के लिए E[h(T)] = 0, तो h(T) लगभग सर्वत्र [0,1] पर शून्य होना चाहिए।
यह दर्शाता है कि T, θ के लिए एक पूर्ण, पर्याप्त प्रतिदर्शज है।
इसलिए, प्रतिदर्शज
इसलिए, सही विकल्प 3 है।
Distribution Question 12:
मान लीजिए X₁ , X₂ , X₃ एक संतत बंटन से लिया गया यादृच्छिक प्रतिदर्श है जिसका संचयी बंटन फलन F(t), प्रायिकता घनत्व फलन f(t), और विफलता दर फलन
Answer (Detailed Solution Below)
Distribution Question 12 Detailed Solution
संप्रत्यय:
प्राचल
व्याख्या:
विकल्प 1: दो स्वतंत्र चरघातांकी यादृच्छिक चरों
और
यह व्यंजक
विकल्प 2: दो स्वतंत्र चरघातांकी यादृच्छिक चरों
यह
विकल्प 3: तीन स्वतंत्र चरघातांकी यादृच्छिक चरों के लिए, हमें यह प्रायिकता ज्ञात करने की आवश्यकता है कि
जिसे चरघातांकी बंटनों का एक मानक गुणधर्म माना जाता है। इस परिदृश्य के लिए प्रायिकता
विकल्प 4: इसी प्रकार, चरघातांकी बंटन के गुणधर्मों और कोटि सांख्यिकी की तुलना का उपयोग करके, यह प्रायिकता
कि
इसलिए, विकल्प 3) और 4) सही हैं।
Distribution Question 13:
मान लीजिए X1....Xn (n ≥ 3) एक यादृच्छिक प्रतिदर्श है जिसका प्रायिकता घनत्व फलन
जहाँ θ > 0 एक अज्ञात प्राचल है। मान लीजिए
Answer (Detailed Solution Below)
Distribution Question 13 Detailed Solution
संप्रत्यय:
चरघातांकी बंटन के लिए प्रायिकता घनत्व फलन (PDF)
चरघातांकी बंटन का प्रायिकता घनत्व फलन (PDF) इस प्रकार दिया गया है:
यहाँ,
एक स्थिर औसत दर पर (जैसे, प्वासों प्रक्रिया)।
प्रतिदर्श
प्रतिदर्श माध्य
व्याख्या: आप जिस समस्या से निपट रहे हैं, उसमें दिए गए प्रायिकता घनत्व फलन (PDF) वाले बंटन से एक यादृच्छिक प्रतिदर्श
जहाँ
विकल्प 1: चरघातांकी बंटन के लिए, प्रतिदर्श माध्य
अनभिनत आकलक है। इसलिए,
विकल्प 2: चरघातांकी बंटन
इसलिए, आकार n के एक प्रतिदर्श के लिए, फिशर सूचना
इसलिए, विकल्प 2 सही है।
विकल्प 3:
विकल्प 4: प्रायिकता
(CDF):
इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि
सही कथन विकल्प 1), विकल्प 2) और विकल्प 4) हैं।
Distribution Question 14:
मानिए कि एक अज्ञात प्रायिकता बंटन से युक्तिसंगत रूप से बड़े प्रादर्श x1,... xn का उपयोग करते हुए एक प्रसामान्य Q - Q आरेख बनाया जाता है। निम्न में से किस बंटन के लिए Q - Q आरेख के उत्तल होने की अपेक्षा है (J की आकृति का)?
Answer (Detailed Solution Below)
Distribution Question 14 Detailed Solution
Distribution Question 15:
यदि (X, Y) द्विचर प्रसामान्य बंटन के अनुसार हो जहां माध्य μ1, μ2, मानक विचलन σ1, σ2 तथा सह संबंध गुणांक ρ हों जहां सभी प्राचल अज्ञात हैं। तब परीक्षण H0 : σ1 = σ2 निम्न में से किनकी स्वतंत्रता परीक्षित करने के तुल्य है