मान लीजिए कि लंबाई α वाले रेखाखंड AB पर यादृच्छिक रूप से एक बिंदु P चुना जाता है। मान लीजिए कि Z₁ और Z₂ क्रमशः रेखाखंडों AP और BP की लंबाइयों को दर्शाते हैं। तब E(|Z₁ - Z₂|) का मान है:

संप्रत्यय:

प्रत्याशित मान की गणना:

प्रत्याशित मान \( E(|Z_1 - Z_2|)\) ज्यामितीय प्रायिकता का उपयोग करके या खंड की लंबाई पर समाकलन करके प्राप्त किया जा सकता है। खंड पर बिंदु P के एकसमान बंटन के लिए, दो दूरियों के बीच निरपेक्ष अंतर का प्रत्याशित मान ज्ञात है

\(E(|Z_1 - Z_2|) = \frac{\alpha}{2}\)

व्याख्या:

आइए हम चर \(X = Z_1 - Z_2 \) प्रस्तुत करते हैं। चूँकि \( Z_1 + Z_2 = \alpha \) है, हमारे पास \(Z_2 = \alpha - Z_1\) है

इस प्रकार, \(X = Z_1 - (\alpha - Z_1) = 2Z_1 - \alpha \) , इसलिए \(X = 2Z_1 - \alpha\) है।

हम \(E(|X|) \) की गणना करना चाहते हैं, जो \( E(|2Z_1 - \alpha|\)) के समतुल्य है।

\(Z_1 \) का वितरण:

चूँकि P को रेखाखंड के साथ समान रूप से चुना जाता है, \(Z_1 \) 0 और α के बीच समान रूप से वितरित होता है। \(Z_1 \) का प्रायिकता घनत्व फलन (PDF) है

\( f_{Z_1}(z_1) = \frac{1}{\alpha} \quad \text{for} \quad 0 \leq z_1 \leq \alpha \)

\( |X| \) का प्रत्याशित मान:

अब, हम प्रत्याशित मान \( E(|2Z_1 - \alpha|) \) की गणना करते हैं। इसमें \(Z_1 \) की सीमा पर \(2Z_1 - \alpha \) के निरपेक्ष मान को समाकलित करना शामिल है:

\(E(|2Z_1 - \alpha|) = \int_0^\alpha |2z_1 - \alpha| \cdot \frac{1}{\alpha} \, dz_1\)

समाकल को पृथक करने पर,

व्यंजक \( |2Z_1 - \alpha|\) तब चिह्न बदलता है जब \(z_1 = \frac{\alpha}{2}\) होता है।

इसलिए, हम समाकल को दो भागों में विभाजित करते हैं:

\(0 \leq z_1 \leq \frac{\alpha}{2} \) के लिए, \(|2z_1 - \alpha| = \alpha - 2z_1\) है।

\( \frac{\alpha}{2} \leq z_1 \leq \alpha \) के लिए, \(|2z_1 - \alpha| = 2z_1 - \alpha \) है।

इसलिए, प्रत्याशित मान बन जाता है:

\( E(|2Z_1 - \alpha|) = \int_0^{\frac{\alpha}{2}} (\alpha - 2z_1) \cdot \frac{1}{\alpha} \, dz_1 + \int_{\frac{\alpha}{2}}^\alpha (2z_1 - \alpha) \cdot \frac{1}{\alpha} \, dz_1 \)

पहला समाकल \(\int_0^{\frac{\alpha}{2}} (\alpha - 2z_1) \cdot \frac{1}{\alpha} \, dz_1 = \frac{1}{\alpha} \left[ \alpha z_1 - z_1^2 \right]_0^{\frac{\alpha}{2}} = \frac{1}{\alpha} \left( \frac{\alpha^2}{2} - \frac{\alpha^2}{4} \right) = \frac{\alpha}{4}\)

दूसरा समाकल \(\int_{\frac{\alpha}{2}}^\alpha (2z_1 - \alpha) \cdot \frac{1}{\alpha} \, dz_1 = \frac{1}{\alpha} \left[ z_1^2 - \alpha z_1 \right]_{\frac{\alpha}{2}}^\alpha = \frac{1}{\alpha} \left( \alpha^2 - \alpha^2 + \frac{\alpha^2}{4} \right) = \frac{\alpha}{4}\)

\(E(|2Z_1 - \alpha|) = \frac{\alpha}{4} + \frac{\alpha}{4} = \frac{\alpha}{2}\)

\(E(|Z_1 - Z_2|) = \frac{\alpha}{2}\)

इसलिए, विकल्प 3) सही है।