Distance Formula MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Distance Formula - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

दिए गए बिंदु A(3, −1) और B(1, 1) हैं। मान लीजिए कि AB का मध्य बिंदु P है, और AB के लंब समद्विभाजक पर स्थित एक बिंदु Q है जो P से √2 इकाई की दूरी पर है।

AB का मध्य बिंदु P की गणना करें:

AB की ढाल की गणना करें:

इसलिए, रेखा AB का समीकरण है:

AB का लंब समद्विभाजक P(2, 0) से गुजरना चाहिए और इसकी ढलान −1 (अर्थात ढलान +1) के लंबवत होनी चाहिए:

इस समद्विभाजक पर कोई भी बिंदु Q, y = x - 2 को संतुष्ट करता है। Q = (x, x − 2) लिखें।

हमें दूरी PQ = √2 की आवश्यकता है। चूँकि P(2, 0),

⇒

इस प्रकार,

⇒

यदि x = 3 है, तो y = 3 - 2 = 1 है। इसलिए एक हल Q(3, 1) है।

यदि x = 1 है, तो y = 1 - 2 = -1 है। इसलिए दूसरा हल Q(1, −1) है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 2 है।

गणना:

दिए गए बिंदु A(0,0), B(p,1), और C(1,q), एक समबाहु त्रिभुज बनाते हैं। हमें बताया गया है (0

भुजाओं की वर्ग लंबाई की गणना करें:

क्योंकि त्रिभुज समबाहु है, इसलिए तीनों वर्ग लंबाई समान हैं:

⇒

⇒

p और q दोनों (0,1) में धनात्मक हैं

मान लीजिए, p = q = t तब

⇒

⇒

AB² और BC² को बराबर रखने पर:

⇒

सरल करने पर:

⇒

इसलिए t संतुष्ट करता है:

⇒

चूँकि 0 1) जो कि अनुमत नहीं है। इसलिए,

⇒

इसलिए:

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 4 है।

तीन आयामी स्थान में दो बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना निम्न सूत्र द्वारा की जाती है:

दूरी =

गणना:

दिए गए बिंदुओं (x₁, y₁, z₁) = (7, 1, -3) और (x₂, y₂, z₂) = (4, 5, λ) को प्रतिस्थापित करने पर:

दूरी = √((4 - 7)² + (5 - 1)² + (λ + 3)²)

दिया गया है कि दूरी = 13, हमें प्राप्त होता है:

13 = √((4 - 7)² + (5 - 1)² + (λ + 3)²)

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:

13² = (4 - 7)² + (5 - 1)² + (λ + 3)²

169 = (-3)² + (4)² + (λ + 3)²

⇒ 169 = 9 + 16 + (λ + 3)²

⇒ 169 = 25 + (λ + 3)²

⇒ (λ + 3)² = 169 - 25

⇒ (λ + 3)² = 144

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:

λ + 3 = ±√144

⇒ λ + 3 = ±12

λ के लिए हल करने पर:

स्थिति 1: λ + 3 = 12 ⇒ λ = 12 - 3 = 9

स्थिति 2: λ + 3 = -12 ⇒ λ = -12 - 3 = -15

निष्कर्ष:

λ के संभावित मान 9 और -15 हैं।

हालाँकि, दिए गए विकल्पों के अनुसार, सही उत्तर है:

∴ λ = 9

गणना:

दिया गया है: L₁ :

L₂ :

माना रेखा L, A(7, -2, 11) से गुजरती है और L₂ के समानांतर है।

⇒ L :

B रेखा L पर स्थित है।

बिंदु B, पर स्थित है।

⇒

⇒ -3λ - 6 = 0

⇒ λ = -2

B ⇒ (3, 4, -1)

अतः विकल्प 2 सही है।

संकल्पना:

समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी:

• रेखा y = mx + c₁ और y = mx + c₂  के बीच की दूरी  है। 
• रेखा ax + by + c₁ = 0 और ax + by + c₂ = 0 के बीच की दूरी है। 

गणना:

दी गयी रेखाएं 6x + 8y + 15 = 0 और 3x + 4y + 9 = 0 है। 

⇒ 6x + 8y + 15 = 0

उपरोक्त समीकरण से 2 उभयनिष्ठ लेने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

⇒ 3x + 4y + 15/2 = 0       ---(1)

और 3x + 4y + 9 = 0       ---(2)

समीकरण 1 और 2 एक-दूसरे के समानांतर हैं। 

∴ रेखाओं के बीच की दूरी =

Additional Information 

समानांतर रेखाओं में एक ही ढलान होता है और वे कभी भी प्रतिच्छेद नहीं करेंगे।

दो रेखाएं y = m1x + c1

और y = m2x + c2

समानांतर कहा जाता है यदि:

m1 = m2

उदाहरण: 

रेखा 1: 3x + 4y = 1

रेखा 2: 3x + 4y = 5

अनुप्रयोग:

हमारे पास है,

रेखा 1: 6x + 8y + 15 = 0

और, रेखा 2: 3x + 4y + 9 = 0

रेखा 2 निम्न रूप में भी लिखा जा सकता है,

6x + 8y + 18 = 0

चूँकि, दोनों रेखाएँ समानांतर हैं, इसलिए इसका ग्राफ निम्न समान होगा

हमारे पास है,

c2 - c1 = 18 - 15 = 3

a² + b² = 62 + 82 = 100

सीधी रेखाओं के बीच दूरी के सूत्र का उपयोग करना,

D =  इकाई

संकल्पना:

माना कि A (x₁, y₁) और B (x2, y2) रेखा AB के अंतिम बिंदु है। C रेखा AB की मध्य बिंदु है। 

C का निर्देशांक = 

दूरी सूत्र AB से = 

गणना:

दिया गया है, बिंदु A(10, 5), B(8, 4) और C(6, 6) एक त्रिभुज के शीर्ष हैं,

माना कि D रेखा BC पर मध्य बिंदु है। 

इसके निर्देशांक को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है

D = 

D = 

यहाँ, A से माध्यक की लम्बाई = AD = 

⇒AD = 

⇒AD = 3

बिंदु A(10, 5), B(8, 4) और C(6, 6) एक त्रिभुज के शीर्ष हैं, तो A से माध्यक की लम्बाई 3 है।

संकल्पना:

दो लंबवत रेखाओं का अदिश गुणनफल शून्य होता है।

दो बिंदुओं (x1, y1, z1) और (x2, y2, z2) के बीच की दूरी निम्न द्वारा दी जाती है, 

गणना:

मान लीजिए M बिंदु P(2, 3, 4) से खींचे गए लंब का पाद है।

माना, 

x = k, y  = 0, z = 0

इसलिए M = (k, 0, 0)

अब PM के दिक् अनुपात = (2 - k, 3 - 0, 4 - 0) = (2- k, 3, 4) और दी गई रेखा के दिक् अनुपात 1, 0, 0 हैं। 

PM दी गई रेखा के लंबवत है इसलिए,

(2 - k) (1) + 3(0) + 4 (0) = 0

∴ k = 2

M = (2, 0, 0)

लंबवत दूरी PM =

अत: विकल्प (2) सही है।

संकल्पना:

रेखा ax + by + c = 0 से बिंदु (x₁, y₁) की दूरी

D = 

गणना:

दी गयी रेखा 3y = 4x + 5 है। 

⇒ 4x - 3y + 5 = 0

(x1, y1) = (2, 1)

∴ D = 

⇒ D = 

⇒ D =  = 2

दिया गया है:

दिए गए निर्देशांक हैं (-1, 1) और (3, -2)

अवधारणा:

सूत्र, जब दो बिंदु समदूरस्थ होते हैं-

गणना:

माना कि बिन्दुपथ बिंदु (x, y) है,

दो बिंदुओं (-1, 1) और (3, -2) से समदूरस्थ बिंदुओं के बिन्दुपथ के रूप में, इसलिए समीकरण होगा-

⇒ (x + 1)2 + (y - 1)2 = (x - 3)2 + (y + 2)2

∵ (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 & 

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2 

⇒ x2 + 2x + 1 + y2 - 2y + 1 = x2 - 6x + 9 + y2 + 4y + 4

⇒ 2x - 2y + 2 = - 6x + 4y + 13

⇒ 8x - 6y - 11 = 0

अत:, समीकरण 8x - 6y - 11 = 0 है

संकल्पना:

माना कि A (x₁, y₁) और B (x₂, y₂), XY - तल में दो बिंदु हैं, तो A और B के बीच की दूरी को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

गणना:

दिया गया है: बिंदु (3, 4) और (a, 2) के बीच की दूरी 8 इकाई है। 

यहाँ, हमें a का मान ज्ञात करना है। 

चूँकि हम जानते हैं कि, दो बिंदु A (x1, y1) और B (x2, y2) के बीच की दूरी को द्वारा ज्ञात किया गया है।

⇒ 

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर हमें निम्न प्राप्त होता है

⇒ (a - 3)² + 4 = 64

⇒ a² + 9 - 6a - 60 = 0

⇒ a² - 6a - 51 = 0

⇒ 

अतः विकल्प A सही उत्तर है। 

संकल्पना:

माना कि A (x₁, y₁) और B (x₂, y₂), XY - तल में कोई दो बिंदु हैं, तो A और B के बीच की दूरी को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

गणना:

दिया  गया है: बिंदु (5, - 2) और (1, a) के बीच की दूरी 5 है। 

माना कि A = (5, - 2) और B = (1, a) है। 

चूँकि हम जानते हैं कि, बिंदु A और B के बीच की दूरी को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

यहाँ, x₁ = 5, y₁ = - 2, x₂ = 1 और y₂ = a

संकल्पना:

यदि दो गैर-ऊर्ध्वाधर रेखाएं एक-दूसरे के लंबवत होती हैं, तो उनके ढलान का गुणनफल -1 होता है। 

अलग-अलग बिंदु (x₁, y₁) और (x₂, y₂) से होकर गुजरने वाली एक रेखा का ढलान  है। 

गणना:

बिंदु (0, k) और (3, 1) से होकर गुजरने वाली रेखा का ढलान 

3x - 4y - 5 = 0 

⇒4y = 3x - 5

⇒ y =  

इसलिए, रेखा 3x - 4y - 5 = 0 का ढलान 3/4 है। 

अब चूँकि रेखा OP और 3x - 4y - 5 = 0 एक-दूसरे के लंबवत हैं। 

अतः विकल्प (3) सही है। 

संकल्पना:

समानांतर रेखा ax + by + c₁ और ax + by + c₂ के बीच की दूरी को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

D = 

गणना:

दी गयी 2 रेखाएं निम्न हैं:

3y + 4x - 12 = 0

3y + 4x - 7 = 0

a = 4, b = 3, c₁ = -12 और c₂ = -7

∴ रेखाओं के बीच की दूरी

D = 

⇒ D = 

⇒ D =  = 1

संकल्पना:

माना कि A(x1, y1) और B(x2, y2), X-Y तल पर कोई दो बिंदु है। मान लीजिए बिंदु C रेखाखंड AB का मध्यबिंदु है, तो बिंदु C का निर्देशांक निम्न है:

 .

गणना:

(10, -6) और (k, 4) का मध्य-बिंदु:

अतः

2b = - 1

दिया हुआ, a – 2b = 7

k = 2