श्रृंखला \(1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{8}+...\)के पहले आठ पदों का योग क्या है?

संकल्पना:

ज्यामितीय श्रेणी का योग:

n पद, सार्व अनुपात r और पहले पद a के साथ ज्यामितीय श्रेणी के लिए n पदों का योग निम्न द्वारा दिया जाता है:

1. \(\rm S_n=\dfrac{a(r^n-1)}{r-1}\ \ \ \ \{...r>1\)
2. \(\rm S_n=\dfrac{a(1-r^n)}{1-r}\ \ \ \ \{...r<1\)

गणना:

ध्यान दें कि दिया गया योग सार्व अनुपात \(\rm r = -\dfrac{1}{2}\) साथ एक ज्यामितीय श्रेणी है।

चूँकि R < 1 ज्यामितीय श्रेणी का योग सूत्र 2 द्वारा दिया जाता है।

दी गई ज्यामितीय श्रेणी के लिए \(\rm a=1, r=-\dfrac{1}{2}\mbox{ and } n = 8\) ।

इस प्रकार, आवश्यक योग इस प्रकार दिया गया है:

\(\rm \begin{align*} S_8 &= \dfrac{a(1-r^n)}{1-r}\\ &= \dfrac{1\left(1-\left(-\frac{1}{2}\right)^8\right)}{1+\frac{1}{2}}\\ &= \dfrac{1\left(1-\left(\frac{1}{256}\right)\right)}{\frac{3}{2}}\\ &= \dfrac{2\left(\frac{255}{256}\right)}{3}\\ &= \dfrac{2\times 255}{3\times 256}\\ &= \dfrac{85}{128} \end{align*}\)

इसलिए, श्रृंखला \(1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{8}+\cdots\) के पहले 8 पदों का योग \(\dfrac{85}{128}\) है।