रैखिक SHM को क्रियान्वित करने वाले एक कण के लिए स्थितिज उर्जा फलन \(V (x) = \frac{1}{2}kx^2\) द्वारा दिया जाता है, जहाँ k दोलक का बल नियतांक है, (चित्र 6.2) k = 0.5 N/m के लिए, V(x) बनाम x का आलेख चित्र में दिखाया गया है। कुल ऊर्जा E का एक कण x = ± xm तक पहुँचने पर वापस मुड़ जाता है। x = +xm पर, यदि V और K, कण के क्रमशः P.E. और K.E.को इंगित करते हैं। तो निम्न में से कौन सा सही है?

  1. V = O, K = E
  2. V = E, K = O
  3. V < E, K = O
  4. V = O, K < E.

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : V = E, K = O

Detailed Solution

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व्याख्या:

किसी भी बिंदु पर द्रव्यमान m के कण की कुल ऊर्जा, E = K.E + P.E 

→चूँकि कण की गति से कोई काल्पनिक बल या वायु कर्षण बल नहीं जुड़ा है, इसलिए यह संरक्षित बल द्वारा गतिमान है,

(F = - kx) और इसलिए इसकी कुल ऊर्जा स्थिर रहती है।

जब P.E बढ़ती है तो K.E घटती है और जब K.E बढ़ती है तो P.E घटती है, जिससे कुल ऊर्जा समान रहती है।

कण का अधिकतम विस्थापन ± xm है।

किसी भी बिंदु पर विभव \(V (x) = \frac{1}{2}kx^2\) है

→एकदम बाएँ और दाएँ ± xm

स्थितिज ऊर्जा है, \(V (x_m) = \frac{1}{2}kx_m^2\) .

इस स्थिति पर​ K.E = 0. 

∴कुल ऊर्जा E = K + V = 0 + V = \(\frac{1}{2}kx_m^2\)

हम जानते हैं कि किसी भी बिंदु पर गतिज ऊर्जा,

= कुल ऊर्जा - स्थितिज ऊर्जा

\(\frac{1}{2}kx_m^2 - \frac{1}{2}kx ^2 \)

माध्य स्थिति में x = 0

स्थितिज ऊर्जा = 0 और गतिज ऊर्जा = \(\frac{1}{2}kx_m^2 \)

कुल ऊर्जा को स्थिर रखने के लिए स्थितिज ऊर्जा और गतिज ऊर्जा समान दर से घटती और बढ़ती है।

± xm V = E और K = 0 पर

⇒कुल ऊर्जा = E + 0 = E

तो, सही उत्तर विकल्प (2) है।

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