Question
Download Solution PDFमानें कि u(x, y) निम्न कौशी समस्या का हल है
uux + uy = 0, x ∈ ℝ, y > 0,
u(x, 0) = x, x ∈ ℝ
निम्नलिखित में से कौन u(2, 3) का मान है?
Answer (Detailed Solution Below)
Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
मान लीजिए Pp + Qq = R एक आंशिक अवकल समीकरण है जहाँ P, Q, R, x, y, z के फलन हैं, तो लैग्रेंज की विधि से
\(\frac{dx}{P}\) = \(\frac{dy}{Q}\) = \(\frac{du}{R}\)
व्याख्या:
दिया गया है
uux + uy = 0, x ∈ ℝ, y > 0,
u(x, 0) = x, x ∈ ℝ
लैग्रेंज की विधि का उपयोग करके
\(\frac{dx}{P}\) = \(\frac{dy}{Q}\) = \(\frac{du}{R}\)
⇒ \(\frac{dx}{u}\) = \(\frac{dy}{1}\) = \(\frac{du}{0}\)
इसे हल करने पर हमें प्राप्त होता है
u = c1...(i)
और u = c1 रखने पर हमें पहले दो पदों से प्राप्त होता है
\(\frac{dx}{c_1}\) = \(\frac{dy}{1}\)
dx = c1dy
⇒ x - c1y = c2
⇒ x - uy = c2...(ii)
(i) और (ii) से हमें सामान्य हल प्राप्त होता है
u = ϕ(x - uy)
u(x, 0) = x का उपयोग करके हम प्राप्त करते हैं
x = ϕ(x) इसलिए ϕ(x - uy) = x - uy
इसलिए हल निम्न है
u = x - uy ⇒ u(1 + y) = x ⇒ u = \(\frac{x}{1+y}\)
इसलिए u(2, 3) = \(\frac{2}{4}=\frac12\)
विकल्प (3) सही है।
Last updated on Jun 5, 2025
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