Question
Download Solution PDFयदि x2 - 3|x| + 2 < 0 तो x किससे संबंधित है?
Answer (Detailed Solution Below)
Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
- मापांक फलन '| |' निम्न रूप में परिभाषित किया गया है: \(\rm |x|=\left\{\begin{matrix}\rm \ \ \ x, &\rm x \geq 0\\ \rm -x, &\rm x<0\\\end{matrix}\right.\)
- यदि ab > 0 तो a और b दोनों +ve होने चाहिए या दोनों -ve होने चाहिए ⇒ (a > 0 और b > 0) या (a < 0 और b < 0)।
- यदि ab < 0 तो a और b में से एक +ve होना चाहिए और अन्य -veहोना चाहिए ⇒ (a > 0 और b < 0) या (a < 0 और b > 0)।
गणना:
मापांक फलन की परिभाषा का उपयोग करते हुए, हमारे पास निम्नलिखित दो मामले हैं:
मामला 1: यदि x ≥ 0 तो |x| = x
∴ x2 - 3|x| + 2 < 0
⇒ x2 - 3x + 2 < 0
⇒ x2 - 2x - x + 2 < 0
⇒ x(x - 2) - (x - 2) < 0
⇒ (x - 2)(x - 1) < 0
⇒ (x - 2 < 0 और x - 1 > 0) या (x - 2 > 0 और x - 1 < 0)
⇒ (x < 2 और x > 1) या (x > 2 और x < 1)
चूँकि (x > 2 और x < 1) संभव नहीं है इसलिए इस मामले में एकमात्र समाधान 1 < x < 2 है।
मामला 2: यदि x < 0 तो |x| = -x
∴ x2 - 3|x| + 2 < 0
⇒ x2 - 3(-x) + 2 < 0
⇒ x2 + 3x + 2 < 0
⇒ (x + 2)(x + 1) < 0
⇒ (x + 2 < 0 और x + 1 > 0) या (x + 2 > 0 और x + 1 < 0)
⇒ (x < -2 और x > -1) या (x > -2 और x < -1)
चूँकि (x < -2 और x > -1) संभव नहीं है इसलिए इस मामले में एकमात्र समाधान -2 < x < -1है।
∴ x2 - 3|x| + 2 < 0 का समाधान (1 < x < 2) या (-2 < x < -1) है जो x ∈ (-2, -1) ∪ (1, 2) के रूप में भी लिखा जा सकता है।
Last updated on Jul 7, 2025
->UPSC NDA Application Correction Window is open from 7th July to 9th July 2025.
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-> The selection process for the NDA exam includes a Written Exam and SSB Interview.
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