यदि अधिलाभ योजना लागू की जाती है, तो क्या प्रायिकता है कि नियुक्त किया नया प्रबंधक B था?

गणना:

दिया गया है,

A, B और C के प्रबंधक बनने की प्रायिकताएँ हैं:

\( P(A) = \frac{3}{10}, \, P(B) = \frac{1}{2}, \, P(C) = \frac{4}{5} \)

अधिलाभ योजना लागू होने की सप्रतिबंध प्रायिकताएँ हैं:

\( P(D|A) = \frac{4}{9}, \, P(D|B) = \frac{2}{9}, \, P(D|C) = \frac{1}{3} \)

हमें बेज़ प्रमेय का उपयोग करके यह ज्ञात करने की आवश्यकता है कि अधिलाभ योजना लागू होने पर B प्रबंधक होने की प्रायिकता क्या है:

\( P(B|D) = \frac{P(D|B)P(B)}{P(D)} \)

सबसे पहले, कुल प्रायिकता P(D) की गणना करें कि अधिलाभ योजना लागू की गई है:

\( P(D) = P(D|A)P(A) + P(D|B)P(B) + P(D|C)P(C) \)

मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

\( P(D) = \left( \frac{4}{9} \times \frac{3}{10} \right) + \left( \frac{2}{9} \times \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{3} \times \frac{4}{5} \right) \)

सरलीकरण करने पर:

\( P(D) = \frac{12}{90} + \frac{2}{18} + \frac{4}{15} \)

एक उभयनिष्ठ हर (LCD = 90) ज्ञात करें:

\( P(D) = \frac{12}{90} + \frac{10}{90} + \frac{24}{90} = \frac{46}{90} = \frac{23}{45} \)

अब, P(B|D) ज्ञात करने के लिए बेयस प्रमेय का उपयोग करने पर:

\( P(B|D) = \frac{P(D|B)P(B)}{P(D)} = \frac{\left( \frac{2}{9} \times \frac{1}{2} \right)}{\frac{23}{45}} \)

सरलीकरण करने पर:

\( P(B|D) = \frac{\frac{2}{18}}{\frac{23}{45}} = \frac{\frac{1}{9}}{\frac{23}{45}} = \frac{5}{23} \)

यह प्रायिकता कि नियुक्त प्रबंधक B था, यह देखते हुए कि अधिलाभ योजना लागू की गई है, 5/23 है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 1 है।