α ∈ R के किस मान के लिए समीकरण की प्रणाली: x + y + z = 3, 2x + 4y + 2z = 6 and α x + α y + αz = 3\alpha के अनंत रूप से कई हल हैं?

धारणा:

हम तीन चरों में समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें:

a₁ × x + b₁ × y + c₁ × z = d₁

a₂ × x + b₂ × y + c₂ × z = d₂

a₃ × x + b₃ × y + c₃ × z = d₃

फिर 

क्रेमर के नियम से:

I. यदि Δ ≠ 0 तब समीकरण की प्रणाली का अद्वितीय हल है और यह इसके द्वारा दिया गया है: 

II. यदि Δ = 0, Δ, Δ1, Δ2, Δ3 निर्धारकों में से कम से कम एक गैर-शून्य है तब समीकरणों की प्रणाली असंगत है।

III. यदि Δ = 0 और Δ1 = Δ2 = Δ3 = 0 तब प्रणाली सुसंगत है और इसमें अनंत रूप से कई हल हैं।

धारणा:

दिया हुआ: x + y + z = 3, 2x + 2y + 2z = 6 और α x + α y + αz = 3α

जैसा कि हम जानते हैं

⇒ Δ = 0 and Δ₁ = Δ₂ = Δ₃ = 0

इसलिए, दी गई प्रणाली में α ∈ R के लिए अनंत हल हैं।