रेखा $\vec{r} = (\hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k}) + λ (\hat{i} - \hat{j} + \hat{k})$ और तल $\vec{r} \cdot (2 \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) = 6$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

Question

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रेखा $\vec{r} = (\hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k}) + λ (\hat{i} - \hat{j} + \hat{k})$ और तल $\vec{r} \cdot (2 \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) = 6$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

$\sin^{- 1} (\frac{2 \sqrt{2}}{3})$
$\sin^{- 1} (\frac{\sqrt{2}}{3})$
$\sin^{- 1} (\frac{2}{3})$
इनमें से कोई नहीं

Answer 1

संकल्पना:

यदि θ रेखा $\vec{r} = \vec{a} + λ \vec{b}$ और तल $\vec{r} \cdot \vec{n} = q$ के बीच का कोण है, तो निम्न दिया गया है: $\sin θ = \frac{\vec{b} \cdot \vec{n}}{| \vec{b} | \times | \vec{n} |}$

गणना:

दिया गया है: रेखा का समीकरण $\vec{r} = (\hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k}) + λ (\hat{i} - \hat{j} + \hat{k})$ और तल का समीकरण $\vec{r} \cdot (2 \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) = 6$

यहाँ, हमें दी गयी रेखा और तल के बीच का कोण ज्ञात करना है।

चूँकि हम जानते हैं कि, यदि θ रेखा $\vec{r} = \vec{a} + λ \vec{b}$ और तल $\vec{r} \cdot \vec{n} = q$ के बीच का कोण है, तो निम्न दिया गया है: $\sin θ = \frac{\vec{b} \cdot \vec{n}}{| \vec{b} | \times | \vec{n} |}$

यहाँ, $\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{n} = 2 \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$

⇒ $\vec{b} \cdot \vec{n} = 2 + 1 + 1 = 4$ , $| \vec{b} | = \sqrt{1^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}} = \sqrt{3} a n d | \vec{n} | = \sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2} + {(1)}^{2}} = \sqrt{6}$

$\sin θ = \frac{\vec{b} \cdot \vec{n}}{| \vec{b} | \times | \vec{n} |}$ में उपरोक्त दिए गए मानों को रखने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

$\Rightarrow \sin θ = \frac{4}{\sqrt{3} \times \sqrt{6}} = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

$\Rightarrow θ = \sin^{- 1} (\frac{2 \sqrt{2}}{3})$

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Question

रेखा $\vec{r} = (\hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k}) + λ (\hat{i} - \hat{j} + \hat{k})$ और तल $\vec{r} \cdot (2 \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) = 6$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

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रेखा r→=(i^+2j^−k^)+λ(i^−j^+k^) और तल r→⋅(2i^−j^+k^)=6 के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

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रेखा $\vec{r} = (\hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k}) + λ (\hat{i} - \hat{j} + \hat{k})$ और तल $\vec{r} \cdot (2 \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) = 6$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।