z = f(x + ay) + ∅(x - ay) সমীকরণ থেকে স্বেচ্ছামূলক অপেক্ষকগুলিকে বাদ দিয়ে একটি আংশিক অবকলন সমীকরণ তৈরি করুন।

Question

Question

This question was previously asked in

UPPCL AE Electrical 2 April 2022 Official Paper (Shift 2)

\(\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}=a^{2} \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}\)
\(\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=-a^{2} \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}\)
\(\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=a^{2} \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}\)
\(\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=a^{2} \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}\)

Answer 1

ধারণা:

z = f(x + ay) + ∅(x - ay)..............(i)

উভয় পক্ষকে y এর সাপেক্ষে অবকলন করে পাই:

\( {dz \over dy}=aF'(x+ay)-a\phi'(x-ay)\)

উভয় পক্ষকে আবার y এর সাপেক্ষে অবকলন করে পাই:

\( {d^2z \over dy^2}=a^2F''(x+ay)+a^2\phi''(x-ay)\)

\( {d^2z \over dy^2}=a^2[F''(x+ay)+\phi''(x-ay)]\) ...............(ii)

সমীকরণ (i) কে x এর সাপেক্ষে অবকলন করে পাই:

\( {dz \over dx}=F'(x+ay)+\phi'(x-ay)\)

\( {d^2z \over dx^2}=F''(x+ay)+\phi''(x-ay)\) ............(iii)

সমীকরণ (iii) কে (ii) তে প্রতিস্থাপন করে পাই:

\(\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=a^{2} \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}\)