Supremum & Infimum MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Supremum & Infimum - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

Last updated on Jul 1, 2025

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Latest Supremum & Infimum MCQ Objective Questions

Supremum & Infimum Question 1:

अनुक्रम un = पर विचार करें, तो निम्नलिखित में से कौन सा/से सही है?

  1. lim sup un = lim inf un = 1
  2. lim sup un = lim inf un = 1/e
  3. lim sup un = lim inf un = e
  4. lim sup un = e, lim inf un = 1/e

Answer (Detailed Solution Below)

Option :

Supremum & Infimum Question 1 Detailed Solution

व्याख्या:

un =

जब n सम है,

un =

इसलिए, = = e

और जब n विषम है,

un =

इसलिए, = = 1/e

lim sup un = e, lim inf un = 1/e

विकल्प (4) सही है।

Supremum & Infimum Question 2:

समुच्चय का निम्नक है:

  1. 19√2

Answer (Detailed Solution Below)

Option :

Supremum & Infimum Question 2 Detailed Solution

सही उत्तर (1) है।

हम बाद में हल अपडेट करेंगे।

Supremum & Infimum Question 3:

मान लीजिए कि समुच्चय A = {x ∈ ℚ : 0

  1. sup A = 2 + 2√3
  2. sup A = 3 + 2√2
  3. inf A = 2 + 2√3
  4. inf A = 3 + 2√2

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : sup A = 3 + 2√2

Supremum & Infimum Question 3 Detailed Solution

अवधारणा:

समुच्चय का उच्चक ,  का निम्नतम उपरि परिबंध है। निम्नक  का महत्तम निम्नतम परिबंध है।

 

स्पष्टीकरण:


हमें के उपसमुच्चय के रूप में } समुच्चय दिया गया है, और हमें निर्धारित करने की आवश्यकता है

इस समुच्चय का सही उच्चक (sup) और निम्नक (inf)।

हमें असमिका  में का हल निकालने के लिए कहा गया है।

2.

अंश और हर को से गुणा करें

इसलिए, असमिका  हो जाती है

समुच्चय  में परिमेय संख्याएँ शामिल हैं जो इस असमिका को संतुष्ट करती हैं। इसलिए,

इस समुच्चय का उच्चक  है, जो के लिए निम्नतम उपरि परिबंध है।

निम्नक , 0 है, क्योंकि धनात्मक पक्ष से 0 के निकट पहुँचता है परंतु कभी 0 तक नहीं पहुँचता है।

सही कथन है। 

अतः विकल्प 2) सही है।

Supremum & Infimum Question 4:

अनुक्रम {an} को इस प्रकार परिभाषित कीजिए:

a= 1 तथा n ≥ 1 के लिए, an + 1 =

निम्नलिखित में से कौन-सा सही है?

  1. lim sup a= √2
  2. lim inf a=-∞
  3. lim a= √2
  4. sup a= √2

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : lim sup a= √2

Supremum & Infimum Question 4 Detailed Solution

स्पष्टीकरण:

a= 1 और n ≥ 1 के लिए, an + 1 = 

यदि n सम है an + 1 ≥ 0

तथा an + 1 = ....(i)

यदि n विषम है an + 1 ≤ 0 और an + 1 = ....(ii)

क्योंकि n सम है,

माना  = l तब  = l तब

(i) से,

l = 

2l = 

l = 2/l

l2 = 2

l = ± √2

चूँकि यह धनात्मक पदों का अनुक्रम है इसलिए l = √2

इसी प्रकार, यदि n विषम है तो l = - √2

इसलिए, सीमा बिंदु {-√2, √2} हैं

इसलिए lim sup a= √2, lim inf a= √2

चूँकि इसके दो सीमा बिंदु हैं इसलिए  lim an विद्यमान नहीं है।

विकल्प (1) सत्य है और विकल्प (2) और (3) असत्य हैं

अब, a= 1 और n ≥ 1 के लिए, an + 1 = 

इसलिए, a2 = -3/2

a3 =  = 17/12 > √2

इसलिए, sup an, √2 नहीं हो सकता।

विकल्प (4) असत्य है

Supremum & Infimum Question 5:

निम्न में से कौन-सा वक्तव्य सही है?

  1. 1\)
  2. अस्तित्व में नहीं है।
  3. अस्तित्व में नहीं है।

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 :

Supremum & Infimum Question 5 Detailed Solution

व्याख्या:

= =

इसलिए = = e0 = 1 1

विकल्प (1) गलत है

इसके अलावा = = e

विकल्प (3) सही है

इसके अलावा = =

इसलिए = जो परिमित है

विकल्प (2) गलत है

= जो परिमित है

विकल्प (4) गलत है

Top Supremum & Infimum MCQ Objective Questions

निम्न में से कौन-सा वक्तव्य सही है?

  1. 1\)
  2. अस्तित्व में नहीं है।
  3. अस्तित्व में नहीं है।

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 :

Supremum & Infimum Question 6 Detailed Solution

Download Solution PDF

व्याख्या:

= =

इसलिए = = e0 = 1 1

विकल्प (1) गलत है

इसके अलावा = = e

विकल्प (3) सही है

इसके अलावा = =

इसलिए = जो परिमित है

विकल्प (2) गलत है

= जो परिमित है

विकल्प (4) गलत है

मान लीजिए कि समुच्चय A = {x ∈ ℚ : 0

  1. sup A = 2 + 2√3
  2. sup A = 3 + 2√2
  3. inf A = 2 + 2√3
  4. inf A = 3 + 2√2

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : sup A = 3 + 2√2

Supremum & Infimum Question 7 Detailed Solution

Download Solution PDF

अवधारणा:

समुच्चय का उच्चक ,  का निम्नतम उपरि परिबंध है। निम्नक  का महत्तम निम्नतम परिबंध है।

 

स्पष्टीकरण:


हमें के उपसमुच्चय के रूप में } समुच्चय दिया गया है, और हमें निर्धारित करने की आवश्यकता है

इस समुच्चय का सही उच्चक (sup) और निम्नक (inf)।

हमें असमिका  में का हल निकालने के लिए कहा गया है।

2.

अंश और हर को से गुणा करें

इसलिए, असमिका  हो जाती है

समुच्चय  में परिमेय संख्याएँ शामिल हैं जो इस असमिका को संतुष्ट करती हैं। इसलिए,

इस समुच्चय का उच्चक  है, जो के लिए निम्नतम उपरि परिबंध है।

निम्नक , 0 है, क्योंकि धनात्मक पक्ष से 0 के निकट पहुँचता है परंतु कभी 0 तक नहीं पहुँचता है।

सही कथन है। 

अतः विकल्प 2) सही है।

Supremum & Infimum Question 8:

अनुक्रम {an}n>1, पर विचार करें, जहां

तब अंतराल

को _________ द्वारा दिया जाता है

  1. (-2, 8)
  2. (3, 5)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 :

Supremum & Infimum Question 8 Detailed Solution

अवधारणा:

(यदि -1

स्पष्टीकरण:

दिया गया है

=

=

=

=

=

= 3 - (5 × 0) - + 2 × 0 = 3 - =

=

इसी प्रकार,

=

=

=

=

=

= 3 + (5 × 0) + + 2 × 0 = 3 + =

=

इसलिए

इसलिए सही विकल्प 2 है।

Supremum & Infimum Question 9:

वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र (फ़ील्ड)

 ℝ पर ≤ को साधारण ‘ऑर्डर' मानें।  ℝ2 पर एक ‘ऑर्डर' ≤ से परिभाषित करें कि (a, b) ≤ (c, d) यदि (a या (a = c तथा b ≤ d). उपसमुच्चय  2 ∶ n ∈ पर विचार करें। निम्न में से कौन-सा कथन  के संदर्भ में सत्य है?

  1. inf(E) = (0, 1) तथा sup (E) = (1, 0)
  2. inf(E) का अस्तित्व नहीं है, परंतु sup(E) = (1, 0)
  3. inf(E) = (0, 1) परंतु sup(E) का अस्तित्व नहीं है
  4. inf(E) तथा sup(E) दोनों का अस्तित्व नहीं है

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : inf(E) का अस्तित्व नहीं है, परंतु sup(E) = (1, 0)

Supremum & Infimum Question 9 Detailed Solution

Supremum & Infimum Question 10:

यदि (xn)n≥1 ऋणेतर वास्तविक संख्याओं की श्रेणी हो तो निम्न में से कौन-सा सत्य है? 

  1. liminf xn = 0  (xn)n≥1 परिबद्ध है
  2. 4⇒ limsup\ x_n > 4\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 :

Supremum & Infimum Question 10 Detailed Solution

Supremum & Infimum Question 11:

समुच्चय { ; n,  से संबंधित है} के निम्नक और उच्चक क्या हैं?

  1. 1, 0
  2. 0, 1
  3. 2, 1
  4. 1, 2

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 0, 1

Supremum & Infimum Question 11 Detailed Solution

स्पष्टीकरण:

 ; n,  से संबंधित है} = {1, , , , , ...}

और = 0

अतः समुच्चय का निम्नक 0 है और समुच्चय का उच्चक 1 है। 

अतः विकल्प (2) सही है। 

Supremum & Infimum Question 12:

मान लीजिए (an) तथा (bn) वास्तविक संख्याओं के दो अनुक्रम है तथा  के दो उपसमुच्चय E तथा F है। माने कि E + F = {a + b : a ∈ E, b ∈ F}. माने कि निम्न वक्तव्यों में दांयी ओर सुपरभिाषित है। निम्न में से कौन से कथन सत्य है?

  1. limsup n→∞ (an + bn) ≤ limsupn→∞ an + limsupn→∞ bn
  2. limsup (E + F) ≤ limsup E + limsup F
  3. liminfn→∞ (an + bn) ≤ liminfn→∞an + liminfn→∞bn
  4. liminf (E + F) = liminf E + limsup F

Answer (Detailed Solution Below)

Option :

Supremum & Infimum Question 12 Detailed Solution

संप्रत्यय:

और

व्याख्या:

∴ प्रत्यक्ष गुणों से, विकल्प (1) सत्य है और विकल्प (3) असत्य है

(2) समुच्चय E + F ऊपर से परिबद्ध है यदि और केवल यदि, E और F ऊपर से परिबद्ध हैं। ∴ Lim Sup (E + F) का अस्तित्व है यदि और केवल यदि दोनों lim Sup E और lim Sup F का अस्तित्व है।

अस्तित्व में है, तो a ∈ E, b ∈ F के लिए

a + b ≤ lim Sup E + lim Sup F .......(i)

अब, ε > 0 के लिए, a ∈ E और b ∈ F इस प्रकार विद्यमान हैं कि

a > lim Sup , b > lim Sup

⇒ a + b > lim Sup E + lim Sup F - ε, ∀ε > 0

⇒ lim Sup (E + F) ≥ lim Sup E + lim Sup F ..........(ii)

(i) + (ii) ⇒ lim Sup (E + F) = lim Sup E + lim Sup F

इसी प्रकार, lim Inf (E + F) = lim Inf A + lim Inf B

lim Sup (E - F) = lim Sup E - lim Inf F

lim Inf (E - F) = lim Inf E - lim Sup F

विकल्प (2) और (4) असत्य हैं

Supremum & Infimum Question 13:

निम्न में से कौन-सा वक्तव्य सही है?

  1. 1\)
  2. अस्तित्व में नहीं है।
  3. अस्तित्व में नहीं है।

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 :

Supremum & Infimum Question 13 Detailed Solution

व्याख्या:

= =

इसलिए = = e0 = 1 1

विकल्प (1) गलत है

इसके अलावा = = e

विकल्प (3) सही है

इसके अलावा = =

इसलिए = जो परिमित है

विकल्प (2) गलत है

= जो परिमित है

विकल्प (4) गलत है

Supremum & Infimum Question 14:

अनुक्रम {an} को इस प्रकार परिभाषित कीजिए:

a= 1 तथा n ≥ 1 के लिए, an + 1 =

निम्नलिखित में से कौन-सा सही है?

  1. lim sup a= √2
  2. lim inf a=-∞
  3. lim a= √2
  4. sup a= √2

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : lim sup a= √2

Supremum & Infimum Question 14 Detailed Solution

स्पष्टीकरण:

a= 1 और n ≥ 1 के लिए, an + 1 = 

यदि n सम है an + 1 ≥ 0

तथा an + 1 = ....(i)

यदि n विषम है an + 1 ≤ 0 और an + 1 = ....(ii)

क्योंकि n सम है,

माना  = l तब  = l तब

(i) से,

l = 

2l = 

l = 2/l

l2 = 2

l = ± √2

चूँकि यह धनात्मक पदों का अनुक्रम है इसलिए l = √2

इसी प्रकार, यदि n विषम है तो l = - √2

इसलिए, सीमा बिंदु {-√2, √2} हैं

इसलिए lim sup a= √2, lim inf a= √2

चूँकि इसके दो सीमा बिंदु हैं इसलिए  lim an विद्यमान नहीं है।

विकल्प (1) सत्य है और विकल्प (2) और (3) असत्य हैं

अब, a= 1 और n ≥ 1 के लिए, an + 1 = 

इसलिए, a2 = -3/2

a3 =  = 17/12 > √2

इसलिए, sup an, √2 नहीं हो सकता।

विकल्प (4) असत्य है

Supremum & Infimum Question 15:

R का कोई भी गैर-रिक्त समुच्चय जो ऊपर से परिबद्ध है, उसमें ______ है?

  1. एक अनन्तः मौजूद है
  2. दोनों परिमित रूप से मौजूद हैं
  3. l.u.b
  4. g.l.b

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : l.u.b

Supremum & Infimum Question 15 Detailed Solution

स्पष्टीकरण:

R का कोई भी गैर-रिक्त समुच्चय जो ऊपर से परिबद्ध है, उसकी न्यूनतम उपरि सीमा (l.u.b) होती है और R का कोई भी गैर-रिक्त समुच्चय जो नीचे से परिबद्ध है, उसकी अधिकतम निचली सीमा (g.l.b) होती है। 

आइए समुच्चय {∈ 3पर विचार करें। इस समुच्चय में वे सभी वास्तविक संख्याएँ शामिल हैं जो अनिवार्यतः 3 से कम हैं।

  • समुच्चय A ऊपर से परिबद्ध हुआ है क्योंकि 3, A के लिए उपरि सीमा है। 3 से कम कोई भी संख्या भी एक उपरि सीमा है।
  • हालाँकि, A की न्यूनतम उपरि सीमा (उच्चक) 3 है, क्योंकि यह A के सभी अवयवों से बड़ी या उसके बराबर सबसे छोटी वास्तविक संख्या है। 3 से कम कोई भी संख्या A के लिए उपरि परिबद्ध नहीं है।

अतः विकल्प (3) सत्य है।

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