Supremum & Infimum MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Supremum & Infimum - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Jul 1, 2025
Latest Supremum & Infimum MCQ Objective Questions
Supremum & Infimum Question 1:
अनुक्रम un =
Answer (Detailed Solution Below)
Supremum & Infimum Question 1 Detailed Solution
व्याख्या:
un =
जब n सम है,
un =
इसलिए,
और जब n विषम है,
un =
इसलिए,
lim sup un = e, lim inf un = 1/e
विकल्प (4) सही है।
Supremum & Infimum Question 2:
समुच्चय
Answer (Detailed Solution Below)
Supremum & Infimum Question 2 Detailed Solution
हम बाद में हल अपडेट करेंगे।
Supremum & Infimum Question 3:
मान लीजिए कि समुच्चय A = {x ∈ ℚ : 0
Answer (Detailed Solution Below)
Supremum & Infimum Question 3 Detailed Solution
अवधारणा:
समुच्चय का उच्चक
हमें
इस समुच्चय का सही उच्चक (sup) और निम्नक (inf)।
हमें असमिका
⇒
अंश और हर को
इसलिए, असमिका
समुच्चय
इस समुच्चय का उच्चक
निम्नक
सही कथन
अतः विकल्प 2) सही है।
Supremum & Infimum Question 4:
अनुक्रम {an} को इस प्रकार परिभाषित कीजिए:
a1 = 1 तथा n ≥ 1 के लिए, an + 1 =
निम्नलिखित में से कौन-सा सही है?
Answer (Detailed Solution Below)
Supremum & Infimum Question 4 Detailed Solution
स्पष्टीकरण:
a1 = 1 और n ≥ 1 के लिए, an + 1 =
यदि n सम है an + 1 ≥ 0
तथा an + 1 =
यदि n विषम है an + 1 ≤ 0 और an + 1 =
क्योंकि n सम है,
माना
(i) से,
l =
2l =
l = 2/l
l2 = 2
l = ± √2
चूँकि यह धनात्मक पदों का अनुक्रम है इसलिए l = √2
इसी प्रकार, यदि n विषम है तो l = - √2
इसलिए, सीमा बिंदु {-√2, √2} हैं
इसलिए lim sup an = √2, lim inf an = √2
चूँकि इसके दो सीमा बिंदु हैं इसलिए lim an विद्यमान नहीं है।
विकल्प (1) सत्य है और विकल्प (2) और (3) असत्य हैं
अब, a1 = 1 और n ≥ 1 के लिए, an + 1 =
इसलिए, a2 =
a3 =
इसलिए, sup an, √2 नहीं हो सकता।
विकल्प (4) असत्य है
Supremum & Infimum Question 5:
निम्न में से कौन-सा वक्तव्य सही है?
Answer (Detailed Solution Below)
Supremum & Infimum Question 5 Detailed Solution
व्याख्या:
= =
इसलिए = = e0 = 1 1
विकल्प (1) गलत है।
इसके अलावा = = e
विकल्प (3) सही है।
इसके अलावा = =
इसलिए = जो परिमित है
विकल्प (2) गलत है।
= जो परिमित है
विकल्प (4) गलत है।
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निम्न में से कौन-सा वक्तव्य सही है?
Answer (Detailed Solution Below)
Supremum & Infimum Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFव्याख्या:
= =
इसलिए = = e0 = 1 1
विकल्प (1) गलत है।
इसके अलावा = = e
विकल्प (3) सही है।
इसके अलावा = =
इसलिए = जो परिमित है
विकल्प (2) गलत है।
= जो परिमित है
विकल्प (4) गलत है।
मान लीजिए कि समुच्चय A = {x ∈ ℚ : 0
Answer (Detailed Solution Below)
Supremum & Infimum Question 7 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
समुच्चय का उच्चक
हमें
इस समुच्चय का सही उच्चक (sup) और निम्नक (inf)।
हमें असमिका
⇒
अंश और हर को
इसलिए, असमिका
समुच्चय
इस समुच्चय का उच्चक
निम्नक
सही कथन
अतः विकल्प 2) सही है।
Supremum & Infimum Question 8:
अनुक्रम {an}n>1, पर विचार करें, जहां
तब अंतराल
को _________ द्वारा दिया जाता है।
Answer (Detailed Solution Below)
Supremum & Infimum Question 8 Detailed Solution
अवधारणा:
स्पष्टीकरण:
दिया गया है
इसी प्रकार,
इसलिए
इसलिए सही विकल्प 2 है।
Supremum & Infimum Question 9:
वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र (फ़ील्ड) ℝ पर ≤ को साधारण ‘ऑर्डर' मानें। ℝ2 पर एक ‘ऑर्डर' ≤ से परिभाषित करें कि (a, b) ≤ (c, d) यदि (a या (a = c तथा b ≤ d). उपसमुच्चय
Answer (Detailed Solution Below)
Supremum & Infimum Question 9 Detailed Solution
Supremum & Infimum Question 10:
यदि (xn)n≥1 ऋणेतर वास्तविक संख्याओं की श्रेणी हो तो निम्न में से कौन-सा सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Supremum & Infimum Question 10 Detailed Solution
Supremum & Infimum Question 11:
समुच्चय {
Answer (Detailed Solution Below)
Supremum & Infimum Question 11 Detailed Solution
स्पष्टीकरण:
{
और
अतः समुच्चय का निम्नक 0 है और समुच्चय का उच्चक 1 है।
अतः विकल्प (2) सही है।
Supremum & Infimum Question 12:
मान लीजिए (an) तथा (bn) वास्तविक संख्याओं के दो अनुक्रम है तथा
Answer (Detailed Solution Below)
Supremum & Infimum Question 12 Detailed Solution
संप्रत्यय:
और
व्याख्या:
∴ प्रत्यक्ष गुणों से, विकल्प (1) सत्य है और विकल्प (3) असत्य है।
(2) समुच्चय E + F ऊपर से परिबद्ध है यदि और केवल यदि, E और F ऊपर से परिबद्ध हैं। ∴ Lim Sup (E + F) का अस्तित्व है यदि और केवल यदि दोनों lim Sup E और lim Sup F का अस्तित्व है।
अस्तित्व में है, तो a ∈ E, b ∈ F के लिए
a + b ≤ lim Sup E + lim Sup F .......(i)
अब, ε > 0 के लिए, a ∈ E और b ∈ F इस प्रकार विद्यमान हैं कि
a > lim Sup
⇒ a + b > lim Sup E + lim Sup F - ε, ∀ε > 0
⇒ lim Sup (E + F) ≥ lim Sup E + lim Sup F ..........(ii)
(i) + (ii) ⇒ lim Sup (E + F) = lim Sup E + lim Sup F
इसी प्रकार, lim Inf (E + F) = lim Inf A + lim Inf B
lim Sup (E - F) = lim Sup E - lim Inf F
lim Inf (E - F) = lim Inf E - lim Sup F
विकल्प (2) और (4) असत्य हैं।
Supremum & Infimum Question 13:
निम्न में से कौन-सा वक्तव्य सही है?
Answer (Detailed Solution Below)
Supremum & Infimum Question 13 Detailed Solution
व्याख्या:
= =
इसलिए = = e0 = 1 1
विकल्प (1) गलत है।
इसके अलावा = = e
विकल्प (3) सही है।
इसके अलावा = =
इसलिए = जो परिमित है
विकल्प (2) गलत है।
= जो परिमित है
विकल्प (4) गलत है।
Supremum & Infimum Question 14:
अनुक्रम {an} को इस प्रकार परिभाषित कीजिए:
a1 = 1 तथा n ≥ 1 के लिए, an + 1 =
निम्नलिखित में से कौन-सा सही है?
Answer (Detailed Solution Below)
Supremum & Infimum Question 14 Detailed Solution
स्पष्टीकरण:
a1 = 1 और n ≥ 1 के लिए, an + 1 =
यदि n सम है an + 1 ≥ 0
तथा an + 1 =
यदि n विषम है an + 1 ≤ 0 और an + 1 =
क्योंकि n सम है,
माना
(i) से,
l =
2l =
l = 2/l
l2 = 2
l = ± √2
चूँकि यह धनात्मक पदों का अनुक्रम है इसलिए l = √2
इसी प्रकार, यदि n विषम है तो l = - √2
इसलिए, सीमा बिंदु {-√2, √2} हैं
इसलिए lim sup an = √2, lim inf an = √2
चूँकि इसके दो सीमा बिंदु हैं इसलिए lim an विद्यमान नहीं है।
विकल्प (1) सत्य है और विकल्प (2) और (3) असत्य हैं
अब, a1 = 1 और n ≥ 1 के लिए, an + 1 =
इसलिए, a2 =
a3 =
इसलिए, sup an, √2 नहीं हो सकता।
विकल्प (4) असत्य है
Supremum & Infimum Question 15:
R का कोई भी गैर-रिक्त समुच्चय जो ऊपर से परिबद्ध है, उसमें ______ है?
Answer (Detailed Solution Below)
Supremum & Infimum Question 15 Detailed Solution
स्पष्टीकरण:
R का कोई भी गैर-रिक्त समुच्चय जो ऊपर से परिबद्ध है, उसकी न्यूनतम उपरि सीमा (l.u.b) होती है और R का कोई भी गैर-रिक्त समुच्चय जो नीचे से परिबद्ध है, उसकी अधिकतम निचली सीमा (g.l.b) होती है।
आइए समुच्चय A = {x ∈ R : x 3} पर विचार करें। इस समुच्चय में वे सभी वास्तविक संख्याएँ शामिल हैं जो अनिवार्यतः 3 से कम हैं।
- समुच्चय A ऊपर से परिबद्ध हुआ है क्योंकि 3, A के लिए उपरि सीमा है। 3 से कम कोई भी संख्या भी एक उपरि सीमा है।
- हालाँकि, A की न्यूनतम उपरि सीमा (उच्चक) 3 है, क्योंकि यह A के सभी अवयवों से बड़ी या उसके बराबर सबसे छोटी वास्तविक संख्या है। 3 से कम कोई भी संख्या A के लिए उपरि परिबद्ध नहीं है।
अतः विकल्प (3) सत्य है।