मान लीजिए कि समुच्चय A = {x ∈ ℚ : 0 < (√2 - 1)x < √2 + 1}, ℝ का एक उपसमुच्चय है। निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?

अवधारणा:

समुच्चय का उच्चक \(\sup A \), \(x\) का निम्नतम उपरि परिबंध है। निम्नक \(\inf A \), \(x\) का महत्तम निम्नतम परिबंध है।

हमें \( \mathbb{R} \) के उपसमुच्चय के रूप में \( A = \{ x \in \mathbb{Q} : 0 < (\sqrt{2} - 1)x < \sqrt{2} + 1 \) } समुच्चय दिया गया है, और हमें निर्धारित करने की आवश्यकता है

इस समुच्चय का सही उच्चक (sup) और निम्नक (inf)।

हमें असमिका \(0 < (\sqrt{2} - 1)x < \sqrt{2} + 1 \) में \(x\) का हल निकालने के लिए कहा गया है।

\(0 < (\sqrt{2} - 1)x < \sqrt{2} + 1\)

⇒ \(0 < x < \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1}\) 2.

अंश और हर को \(\sqrt{2} + 1 \) से गुणा करें

\(\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{(\sqrt{2} + 1)^2}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{2 + 2\sqrt{2} + 1}{2 - 1} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{1} = 3 + 2\sqrt{2}\)

इसलिए, असमिका \(0 < x < 3 + 2\sqrt{2}\) हो जाती है

समुच्चय \( A \) में परिमेय संख्याएँ \( x \in \mathbb{Q} \) शामिल हैं जो इस असमिका को संतुष्ट करती हैं। इसलिए,

इस समुच्चय का उच्चक \(\sup A \) \( 3 + 2\sqrt{2} \) है, जो \(x \) के लिए निम्नतम उपरि परिबंध है।

निम्नक \(\inf A \), 0 है, क्योंकि \(x \) धनात्मक पक्ष से 0 के निकट पहुँचता है परंतु कभी 0 तक नहीं पहुँचता है।

सही कथन \(\sup A = 3 + 2\sqrt{2} \) है। 

अतः विकल्प 2) सही है।