Properties of Lines MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Properties of Lines - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:

वक्र y = f(x) के स्पर्श रेखा की ढलान m =

अभिलंब की ढलान = =

गणना:

दिया गया वक्र y = 2x³ - 5x² + x - 2

समीकरण को x के सापेक्ष अवकलन करने पर

= 6x² - 10x + 1

बिंदु (1, -1) पर ढलान

x = 1 पर = 6(1)² - 10(1) + 1

= 6 - 10 + 1

= -3

अभिलंब की ढलान (m') =

m' = =

बिंदु (1, -1) पर वक्र के अभिलंब की ढलान 1/3 है।

∴ विकल्प 2 सही है। 

गणना:

दिया गया है,

रेखा 1:

रेखा 2:

रेखा 1 की ढाल,

रेखा 2 की ढाल,

लंबवत रेखाओं के लिए, .

mn = 1

अतः सही उत्तर विकल्प 1 है।

परिणाम:

केवल संभावना α = 0, β = 1

∴ वृत्त का समीकरण x² + y² - x - y = 0

x + y + 2 = 0 में वृत्त का प्रतिबिम्ब है

x² + y² + 5x + 5y + 12 = 0

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 1 है।

व्याख्या:

रेखा x - 2y = 1 के अनुदिश विकर्ण का ढाल

⇒m₁ = 1/2

रेखा 4x + 2y = 3 के अनुदिश विकर्ण का ढाल

⇒m₂ = -2

अब, m₁m₂ =

इसलिए, विकर्ण परस्पर लंब हैं।

∴ चतुर्भुज ABCD एक समचतुर्भुज है।

संप्रत्यय:

त्रिविमीय में दो रेखाओं के बीच का कोण:

• अंतरिक्ष में दो रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात करने के लिए, हम उनके दिशात्मक सदिशों के बीच के कोण का उपयोग करते हैं।
• यदि दिशात्मक सदिश a और b हैं, तो उनके बीच का कोण θ इस प्रकार दिया गया है:
• cosθ = (a · b) / (|a| x |b|)
• यहाँ, a · b सदिशों का अदिश गुणनफल है, और |a| सदिश a का परिमाण है।

अदिश गुणनफल:

• सदिशों a = a₁i + a₂j + a₃k और b = b₁i + b₂j + b₃k का अदिश गुणनफल है:
• a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃

गणना:

दिया गया है, पहली रेखा का दिशात्मक सदिश = 4i + 6j + 12k

माना a = 4i + 6j + 12k

दूसरी रेखा का दिशात्मक सदिश = 5i + 8j − 4k

माना कि b = 5i + 8j − 4k

⇒ a · b = (4)(5) + (6)(8) + (12)(−4)

⇒ a · b = 20 + 48 − 48 = 20

⇒ |a| = √(4² + 6² + 12²) = √(16 + 36 + 144) = √196 = 14

⇒ |b| = √(5² + 8² + (−4)²) = √(25 + 64 + 16) = √105

⇒ cosθ = (a · b) / (|a| x |b|) = 20 / (14 x √105)

⇒ cosθ = 2 / (√105 / 7)

⇒ θ = cos⁻¹(20 / (14√105))

⇒ θ = cos−1(10 / (7√105))

∴ अतः विकल्प 1 सही उत्तर है।

संकल्पना:

रेखा y = m1x + c1 और y = m2x + c2 के बीच के कोण को tan θ = द्वारा ज्ञात किया गया है। 

गणना:

दी गयी रेखाएं y = x + 4 और y =  2x - 3 हैं। 

माना कि पहली और दूसरी रेखा की ढलान क्रमशः m₁ और m₂ हैं। 

इसलिए, m₁ = 1 और m₂ = 2

चूँकि हम जानते हैं, tan θ = 

⇒ tan θ = 

∴ θ = 

संकल्पना:

अन्तःखण्ड रूप में रेखा का समीकरण:

अन्तःखण्ड रूप में रेखा का समीकरण निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

जहाँ a और b क्रमशः x और y - अक्ष पर अंतखंड हैं। 

गणना:

अन्तःखण्ड रूप में रेखा का समीकरण निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

यह दिया गया है कि दोनों अंतराल बराबर हैं इसलिए हमारे पास a = b है। 

इसलिए, रेखा के समीकरण को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

इसलिए, ढलान-अंतखंड रूप y = mx + c के साथ तुलना करने पर हम देखते हैं कि रेखा का ढलान -1 है। 

हम जानते हैं कि ढलान को  द्वारा ज्ञात किया गया है। 

जहाँ,  , x - अक्ष के धनात्मक दिशा के साथ बनाया गया कोण है। 

अतः दी गयी स्थिति में हमें प्राप्त होता है। 

धारणा:

• रेखा का ढलान अंतःखंड रूप: y = mx + c, जहां 'm' रेखा की ढलान है और 'c' y - अंतःखंड है।
• एक सीधी रेखा के समीकरण का "बिंदु-ढलान" रूप है: y − y₁ = m(x − x₁)
• जब दो रेखाएं लंबवत होती हैं तो उनकी ढलानों का गुणनफल -1 होता है।
• यदि m एक रेखा की ढलान है तो इसके लिए लंबवत रेखा की ढलान -1/m है।

गणना:

दिया हुआ: 3x + y = 7

⇒ y = -3x + 7

रेखा की ढलान = m = -3

तो इसके लिए लंबवत रेखा की ढलान -1/m = 1/3 है

ढलान "1/3" के साथ (1, 1) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण है

y – 1 = (1/3) (x – 1)

⇒ 3y – 3 = x – 1

⇒ 3y = x + 2

⇒ 3y - x = 2

x- अंतःखंड के लिए y = 0

∴ x = -2

तो रेखा का x- अंतःखंड -2 है

संकल्पना:

दो रेखा y = m1x + c1 और y = m2x + c2 के बीच के कोण को tan θ =  द्वारा ज्ञात किया गया है। 

गणना:

दी गयी रेखाएं y =  x + 2 और y =  x - 4 हैं।

माना कि पहली और दूसरी रेखा क्रमशः m1 और m2  हैं,

इसलिए, m1 = और m2 = 

चूँकि हम जानते हैं, tan θ = 

⇒ tan θ = 

∴ θ =  = 

धारणा:

• अलग-अलग बिंदुओं (x1, y1) और (x2, y2) से गुजरने वाली रेखा की ढलान  है
• जब दो रेखाएं लंबवत होती हैं तो उनकी ढलानों का गुणनफल -1 होता है। यदि m एक रेखा की ढलान है तो इसके लिए लंबवत रेखा की ढलान -1/m है।

गणना:

माना कि रेखा 2x - 5y + 4 = 0 की ढलान m₁ है और बिंदुओं (1, 5) और (α, 3) को जोडनेवाली रेखा की ढलान m₂ है 

अब रेखा की ढलान = m₁ = 2/5

दी गई रेखाएं एक दूसरे के लंबवत हैं,

∴ m1 m2 = -1

⇒ -4 = -5 × (α -1)

⇒ (α -1) = 4/5

⇒ α = (4/5) + 1 = 9/5

संकल्पना:

यदि तीन बिंदु (x1, y1), (x2, y2) और (x3, y3) संरेखीय हैं, तो तीन बिंदुओं द्वारा निर्धारित त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य है। 

या 

यदि तीन या तीन से अधिक बिंदु संरेखीय हैं, तो बिंदुओं के किसी दो युग्मों का ढलान समान है। 

उदाहरण के लिए, माना कि तीन बिंदु A, B और C संरेखीय हैं, तो 

AB का ढलान = BC का ढलान = AC का ढलान 

यदि दो बिंदु  हैं, तो रेखा के ढलान को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

गणना:

दिया गया है: बिंदु (-2, -5), (2, -2) और (8, a) संरेखीय हैं। 

संकल्पना:

• रेखा का ढलान अन्तःखण्ड रूप: y = mx + c, जहाँ ‘m’ रेखा का ढलान है और ‘c’, y - अन्तःखण्ड है। 
• एक सीधी रेखा के समीकरण का "बिंदु-ढलान" रूप निम्न है: y - y₁ = m(x - x₁)
• जब दो रेखाएं एक-दूसरे के लंबवत होते हैं, तो उनके ढलान का गुणनफल -1 है।
• यदि m रेखा का ढलान है, तो इसके लंबवत रेखा का ढलान -1/m है। 

गणना:

दिया गया है: 3x + y = 3

⇒ y = -3x + 3

रेखा का ढलान = m = -3

तो इसके लंबवत रेखा का ढलान -1/m = 1/3 है। 

ढलान "1/3" के साथ (2, 2) से होकर गुजरने वाली रेखा का समीकरण निम्न है

y - 2 = (1/3) (x - 2)

⇒ 3y - 6 = x - 2

⇒ 3y = x + 4

अतः रेखा का y - अंतःखंड 4/3 है। 

संकल्पना:

बिंदु (x1, y1) और (x2, y2) को जोड़ने वाली रेखा के ढलान को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: 

गणना:

दिया गया है: बिंदु A (1, x) और B (3, 2) को जोड़ने वाली रेखा का ढलान 8 है। 

चूँकि हम जानते हैं, बिंदु (x1, y1) और (x2, y2) को जोड़ने वाली रेखा के ढलान को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: 

⇒ 8 = 

⇒ 8 × 2 = 2 - x

⇒ 16 = 2 - x

∴ x = -14

अवधारणा :

यदि θ रेखा l का झुकाव है तो

एक रेखा की ढलान को m = tan θ, θ ≠ 90° से दर्शाया जाता है

गणना :

दिया गया: रेखा एक धनात्मक दिशा में x-अक्ष के संबंध में 30° बनाती है

∵ रेखा का झुकाव 30° है यानी θ = 30°

जैसा कि हम जानते हैं कि एक रेखा की ढलान को m = tan θ द्वारा दिया जाता है

तो, दी गई रेखा की ढलान m = tan 30 ° =

संकल्पना:

रेखा का अंतःखंड रूप: , जहाँ, a = x-अंतःखंड और b = y-अंतःखंड 

गणना:

हमारे पास रेखा  का अंतःखंड रूप है। 

यहाँ, रेखा निर्देशांक अक्षों पर बराबर अंतःखंड बनाती है। 

इसलिए, a = b

⇒ x  + y = a

(4, 3) से होकर गुजरने वाली सीधी रेखा 

∴ (4) + (3) = a

⇒ a = 7

इसलिए, आवश्यक रेखा का समीकरण: x + y = 7

अतः विकल्प (1) सही है।