Properties of Discrete Fourier Series MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Properties of Discrete Fourier Series - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

एक आवधिक फलन x(t) जिसमें अर्ध-तरंग समरूपता के साथ या तो विषम समरूपता या सम समरूपता होती है, उसे चतुर्थांश-तरंग समरूपता कहा जाता है।

गणितीय रूप से, एक आवधिक फलन x(t) को चतुर्थांश तरंग समरूपता कहा जाता है, यदि यह निम्नलिखित शर्त को संतुष्ट करता है:

x(t) = x(-t) या x(t) = -x(-t)

और, x(t) = -x(t ± T/2)

इसलिए विकल्प 1 और 2 दोनों सही हैं।

अतिरिक्त जानकारी

एक तरंग फलन x_T(t) का फूरियर श्रेणी निरूपण है

x_T(t) = a₀ + Σ_{n = 1}^∞(a_ncos(nω₀t) + b_nsin(nω₀t))

जहाँ समय अवधि (-T/2 से T/2) के लिए

a₀ = (2/T)∫_-T/2^T/2 x_T(t)dt

a_n = (2/T)∫_-T/2^T/2 x_T(t)cos(nω₀t)dt

b_n = (2/T)∫_-T/2^T/2 x_T(t)sin(nω₀t)dt

सम सममित तरंग: a₀ ≠ 0, a_n ≠ 0, b_n = 0

विषम सममित तरंग: a₀ = 0, a_n = 0, b_n ≠ 0

अर्ध तरंग समरूपता:

a₀ = 0, a_n = 0 n के लिए सम n और b_n = 0 सभी n के लिए।

a_n ≠ 0 और b_n ≠ 0 n के लिए विषम।

चतुर्थांश-तरंग समरूपता:

यदि आवधिक फलन को सम बनाया जाए, तो

a₀ = 0, b_n = 0 सभी n के लिए और a_n = 0 n के लिए सम

यदि एक चतुर्थांश-तरंग सममित आवधिक फलन को विषम बनाया जाता है,

a₀ = 0, a_n = 0 सभी n के लिए और b_n = 0 n के लिए सम

अवधारणा:

समय डोमेन में संवलन के परिणामस्वरूप आवृत्ति डोमेन में गुणा होता है अर्थात्

दो संकेतों के वृत्ताकार संवलन को प्राप्त करने के लिए हम निम्नलिखित चरणों का पालन कर सकते हैं:

• सबसे पहले, जरूरत पड़ने पर अतिरिक्त शून्य जोड़कर संकेतों की लंबाई को N के बराबर करें।
• दो आव्यूह, एक सिग्नल के चक्रीय रोटेशन का उपयोग करके पहला आव्यूह और दूसरे सिग्नल के साथ दूसरा आव्यूह बनाएं।
• दो आव्यूह को गुणा करें।

गणना:

दिया हुआ:

संकल्पना:

एक वर्गाकार तरंग को निम्न रूप में दर्शाया गया है:

एक वर्गाकार तरंग के लिए मूल आवृत्ति समय काल का प्रतिलोम है, अर्थात

गणना:

T = 4 msec के साथ, मूल आवृत्ति होगी:

महत्वपूर्ण लेख: एक वर्गाकार तरंग कई आवृत्तियों का एक संयोजन है, अर्थात

fवर्गाकार = f0 + f1 + f2 + ... + fn

f0 = मूल आवृत्ति

f1, f2, ...fn हारमोनिक हैं, अर्थात मूल आवृत्ति के गुणक

संकल्पना:

वास्तविक मान वाले सिग्नल के लिए DFT की संयुग्म सममित गुण बताता है कि:

 जहाँ N, f(n) में अनुक्रमों की संख्या है। 

गणना:

A = F[1] = F^*[8 - 1] = F^*[7]

F[1] = F^*[7]

F[k] का दिया गया अनुक्रम = {1, A, 1 + j, B, -1, -1 - j, C, -1 + j}

F[7] = -1 + j

F^*[7] = -1 - j = A

उसीप्रकार, B = F[3] = F^*[8 - 3] = F^*[5]

F[5] = -1 - j

F^*[5] = -1 + j

इसलिए, F[3] = -1 + j = B

उसीप्रकार,

C = F[6] = F^*[8 - 6] = F^*[2]

F[2] के साथ = 1 + j

F^*[2] = 1 - j = C

अतः A, B और C का संबंधित मान निम्न है:

-1 - j, -1 + j और 1 - j

संकल्पना:

एक वर्गाकार तरंग को निम्न रूप में दर्शाया गया है:

एक वर्गाकार तरंग के लिए मूल आवृत्ति समय काल का प्रतिलोम है, अर्थात

गणना:

T = 4 msec के साथ, मूल आवृत्ति होगी:

महत्वपूर्ण लेख: एक वर्गाकार तरंग कई आवृत्तियों का एक संयोजन है, अर्थात

fवर्गाकार = f0 + f1 + f2 + ... + fn

f0 = मूल आवृत्ति

f1, f2, ...fn हारमोनिक हैं, अर्थात मूल आवृत्ति के गुणक

अवधारणा:

समय डोमेन में संवलन के परिणामस्वरूप आवृत्ति डोमेन में गुणा होता है अर्थात्

दो संकेतों के वृत्ताकार संवलन को प्राप्त करने के लिए हम निम्नलिखित चरणों का पालन कर सकते हैं:

• सबसे पहले, जरूरत पड़ने पर अतिरिक्त शून्य जोड़कर संकेतों की लंबाई को N के बराबर करें।
• दो आव्यूह, एक सिग्नल के चक्रीय रोटेशन का उपयोग करके पहला आव्यूह और दूसरे सिग्नल के साथ दूसरा आव्यूह बनाएं।
• दो आव्यूह को गुणा करें।

गणना:

दिया हुआ:

एक आवधिक फलन x(t) जिसमें अर्ध-तरंग समरूपता के साथ या तो विषम समरूपता या सम समरूपता होती है, उसे चतुर्थांश-तरंग समरूपता कहा जाता है।

गणितीय रूप से, एक आवधिक फलन x(t) को चतुर्थांश तरंग समरूपता कहा जाता है, यदि यह निम्नलिखित शर्त को संतुष्ट करता है:

x(t) = x(-t) या x(t) = -x(-t)

और, x(t) = -x(t ± T/2)

इसलिए विकल्प 1 और 2 दोनों सही हैं।

अतिरिक्त जानकारी

एक तरंग फलन x_T(t) का फूरियर श्रेणी निरूपण है

x_T(t) = a₀ + Σ_{n = 1}^∞(a_ncos(nω₀t) + b_nsin(nω₀t))

जहाँ समय अवधि (-T/2 से T/2) के लिए

a₀ = (2/T)∫_-T/2^T/2 x_T(t)dt

a_n = (2/T)∫_-T/2^T/2 x_T(t)cos(nω₀t)dt

b_n = (2/T)∫_-T/2^T/2 x_T(t)sin(nω₀t)dt

सम सममित तरंग: a₀ ≠ 0, a_n ≠ 0, b_n = 0

विषम सममित तरंग: a₀ = 0, a_n = 0, b_n ≠ 0

अर्ध तरंग समरूपता:

a₀ = 0, a_n = 0 n के लिए सम n और b_n = 0 सभी n के लिए।

a_n ≠ 0 और b_n ≠ 0 n के लिए विषम।

चतुर्थांश-तरंग समरूपता:

यदि आवधिक फलन को सम बनाया जाए, तो

a₀ = 0, b_n = 0 सभी n के लिए और a_n = 0 n के लिए सम

यदि एक चतुर्थांश-तरंग सममित आवधिक फलन को विषम बनाया जाता है,

a₀ = 0, a_n = 0 सभी n के लिए और b_n = 0 n के लिए सम

संकल्पना:

एक वर्गाकार तरंग को निम्न रूप में दर्शाया गया है:

एक वर्गाकार तरंग के लिए मूल आवृत्ति समय काल का प्रतिलोम है, अर्थात

गणना:

T = 4 msec के साथ, मूल आवृत्ति होगी:

महत्वपूर्ण लेख: एक वर्गाकार तरंग कई आवृत्तियों का एक संयोजन है, अर्थात

fवर्गाकार = f0 + f1 + f2 + ... + fn

f0 = मूल आवृत्ति

f1, f2, ...fn हारमोनिक हैं, अर्थात मूल आवृत्ति के गुणक

अवधारणा:

समय डोमेन में संवलन के परिणामस्वरूप आवृत्ति डोमेन में गुणा होता है अर्थात्

दो संकेतों के वृत्ताकार संवलन को प्राप्त करने के लिए हम निम्नलिखित चरणों का पालन कर सकते हैं:

• सबसे पहले, जरूरत पड़ने पर अतिरिक्त शून्य जोड़कर संकेतों की लंबाई को N के बराबर करें।
• दो आव्यूह, एक सिग्नल के चक्रीय रोटेशन का उपयोग करके पहला आव्यूह और दूसरे सिग्नल के साथ दूसरा आव्यूह बनाएं।
• दो आव्यूह को गुणा करें।

गणना:

दिया हुआ:

संकल्पना:

वास्तविक मान वाले सिग्नल के लिए DFT की संयुग्म सममित गुण बताता है कि:

 जहाँ N, f(n) में अनुक्रमों की संख्या है। 

गणना:

A = F[1] = F^*[8 - 1] = F^*[7]

F[1] = F^*[7]

F[k] का दिया गया अनुक्रम = {1, A, 1 + j, B, -1, -1 - j, C, -1 + j}

F[7] = -1 + j

F^*[7] = -1 - j = A

उसीप्रकार, B = F[3] = F^*[8 - 3] = F^*[5]

F[5] = -1 - j

F^*[5] = -1 + j

इसलिए, F[3] = -1 + j = B

उसीप्रकार,

C = F[6] = F^*[8 - 6] = F^*[2]

F[2] के साथ = 1 + j

F^*[2] = 1 - j = C

अतः A, B और C का संबंधित मान निम्न है:

-1 - j, -1 + j और 1 - j

एक आवधिक फलन x(t) जिसमें अर्ध-तरंग समरूपता के साथ या तो विषम समरूपता या सम समरूपता होती है, उसे चतुर्थांश-तरंग समरूपता कहा जाता है।

गणितीय रूप से, एक आवधिक फलन x(t) को चतुर्थांश तरंग समरूपता कहा जाता है, यदि यह निम्नलिखित शर्त को संतुष्ट करता है:

x(t) = x(-t) या x(t) = -x(-t)

और, x(t) = -x(t ± T/2)

इसलिए विकल्प 1 और 2 दोनों सही हैं।

अतिरिक्त जानकारी

एक तरंग फलन x_T(t) का फूरियर श्रेणी निरूपण है

x_T(t) = a₀ + Σ_{n = 1}^∞(a_ncos(nω₀t) + b_nsin(nω₀t))

जहाँ समय अवधि (-T/2 से T/2) के लिए

a₀ = (2/T)∫_-T/2^T/2 x_T(t)dt

a_n = (2/T)∫_-T/2^T/2 x_T(t)cos(nω₀t)dt

b_n = (2/T)∫_-T/2^T/2 x_T(t)sin(nω₀t)dt

सम सममित तरंग: a₀ ≠ 0, a_n ≠ 0, b_n = 0

विषम सममित तरंग: a₀ = 0, a_n = 0, b_n ≠ 0

अर्ध तरंग समरूपता:

a₀ = 0, a_n = 0 n के लिए सम n और b_n = 0 सभी n के लिए।

a_n ≠ 0 और b_n ≠ 0 n के लिए विषम।

चतुर्थांश-तरंग समरूपता:

यदि आवधिक फलन को सम बनाया जाए, तो

a₀ = 0, b_n = 0 सभी n के लिए और a_n = 0 n के लिए सम

यदि एक चतुर्थांश-तरंग सममित आवधिक फलन को विषम बनाया जाता है,

a₀ = 0, a_n = 0 सभी n के लिए और b_n = 0 n के लिए सम

प्रतिचयन प्रमेय:

एक सतत-समय के सिग्नल को इसके प्रतिचयनों में दर्शाया जा सकता है और वापस प्राप्त किया जा सकता है जब नमूना आवृत्ति fs संदेश सिग्नल के दो बार उच्चतम आवृत्ति घटक से अधिक या बराबर होती है।

अगर f_s m हो तो हम मूल सिग्नल को पुनर्प्राप्त नहीं कर सकते है, और एलियासिंग (अधः प्रतिचयन) प्रभाव होगा।

विश्लेषण:

x(t) = 3 cos2 250πt

त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग करते हुए, उपरोक्त अभिव्यक्ति को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

ωm = 500π

= 250 Hz

fs = 2 × fm = 2 × 250

fs = 500 Hz

चूंकि समयावधि प्रतिचयन आवृत्ति का व्युत्क्रम है, हम प्राप्त करते हैं:

Ts = 2 msec

T > 2 msec, के लिए, प्रतिचयन आवृत्ति 500 Hz से कम हो जाएगी, जिसके परिणामस्वरूप एलियासिंग होगा। ∴ 2 msec अधिकतम समयावधि होगी।

Important Points

विभिन्न नमूना आवृत्तियों के लिए नमूना स्पेक्ट्रम इस प्रकार समझाया गया है: