Evaluate using Partial Fractions MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Evaluate using Partial Fractions - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

आंशिक भिन्न वियोजन:

• बीजगणित में, परिमेय फलनों वाले व्यंजक को अक्सर आंशिक भिन्नों का उपयोग करके सरल किया जा सकता है।
• परिमेय व्यंजकों को संयोजित या तुलना करने के लिए, उन्हें एक समान हर पर लाएँ।
• समान हर प्राप्त करने के बाद, हम अंशों की तुलना करते हैं और चरों की समान घातों के संगत गुणांकों को समान करते हैं।

गणना:

हमें दिया गया है:

A / (x − a) + (Bx + C) / (x² + b²) = 1 / [(x − a)(x² + b²)]

बाएँ पक्ष का LCM लें:

⇒ [A(x² + b²) + (Bx + C)(x − a)] / [(x − a)(x² + b²)]

चूँकि हर समान हैं, इसलिए अंशों को समान करें:

⇒ A(x² + b²) + (Bx + C)(x − a) = 1

दोनों पक्षों का विस्तार करें:

⇒ A(x² + b²) + Bx(x − a) + C(x − a)

⇒ A(x² + b²) + Bx² − aBx + Cx − aC

⇒ A x² + A b² + B x² − a B x + C x − a C

समान पदों को समूहित करें:

⇒ (A + B)x² + (C − aB)x + (A b² − aC) = 1

अब RHS = 1 के साथ गुणांकों की तुलना करें:

⇒ A + B = 0

⇒ C − aB = 0

⇒ A b² − aC = 1

A + B = 0 से ⇒ B = −A

C − aB = 0 से ⇒ C = aB = a(−A) = −aA

तीसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

⇒ A b² − a(−aA) = 1

⇒ A b² + a² A = 1

⇒ A(b² + a²) = 1

⇒ A = 1 / (a² + b²)

⇒ B = −1 / (a² + b²)

⇒ C = −a / (a² + b²)

∴ इसलिए, C = −a / (a² + b²).

अवधारणा:

आंशिक भिन्न रूप

गणना:

माना I = 

I = 

e^x - 1 = t ⇒  ex = t + 1 रखने पर

ex dx = dt ⇒ dx = 

dx = 

जब x = ln 2, t = e^ln2 - 1 = 2 - 1 = 1

और I =       ------(i)

के साथ  समीकरण (i)   तुलना और A और B प्राप्त करने

हम प्राप्त करते हैं A  = 1 और B = - 1,

⇒ I =  = 

⇒ 

⇒ I =  

⇒  -  =  

चूँकि 

⇒  = 

⇒  = 

⇒ 4t = 3t + 3 ⇒ t = 3

⇒ e^x - 1 = 3, e^x = 4 ⇒ x = ln 4 

∴ x का मान ln 4 है 

अवधारणा:

गणना:

I = 

= (log 2 – log 3) – (log 1 – log 2)

= log 2 – log 3 – 0 + log 2

= 2 log 2 – log 3

= log 2² – log 3                       

(∵ n log m = log mⁿ)

= log 4 – log 3                          

(∵ log m - log n = log (m/n)

धारणा:

गणना:

I = 

= (4 – 2) + 

= 2 + 

= 2 +       (∵ log m – log n = log (m/n))

= 2 + 

अवधारणा:

गणना:

I = 

= (log 2 – log 3) – (log 1 – log 2)

= log 2 – log 3 – 0 + log 2

= 2 log 2 – log 3

= log 2² – log 3                       

(∵ n log m = log mⁿ)

= log 4 – log 3                          

(∵ log m - log n = log (m/n)

आंशिक भिन्न का प्रयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है
इसलिए,  

I = F (2) – F(1)

= [- log3 + 2log 4] – [- log2 + 2 log3]

धारणा:

गणना:

I = 

= (4 – 2) + 

= 2 + 

= 2 +       (∵ log m – log n = log (m/n))

= 2 + 

अवधारणा:

गणना:

I = 

= (log 2 – log 3) – (log 1 – log 2)

= log 2 – log 3 – 0 + log 2

= 2 log 2 – log 3

= log 2² – log 3                       

(∵ n log m = log mⁿ)

= log 4 – log 3                          

(∵ log m - log n = log (m/n)

आंशिक भिन्न का प्रयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है
इसलिए,  

I = F (2) – F(1)

= [- log3 + 2log 4] – [- log2 + 2 log3]

अवधारणा:

आंशिक भिन्न रूप

गणना:

माना I = 

I = 

e^x - 1 = t ⇒  ex = t + 1 रखने पर

ex dx = dt ⇒ dx = 

dx = 

जब x = ln 2, t = e^ln2 - 1 = 2 - 1 = 1

और I =       ------(i)

के साथ  समीकरण (i)   तुलना और A और B प्राप्त करने

हम प्राप्त करते हैं A  = 1 और B = - 1,

⇒ I =  = 

⇒ 

⇒ I =  

⇒  -  =  

चूँकि 

⇒  = 

⇒  = 

⇒ 4t = 3t + 3 ⇒ t = 3

⇒ e^x - 1 = 3, e^x = 4 ⇒ x = ln 4 

∴ x का मान ln 4 है 

अवधारणा:

 जहाँ a

गणना:

दिया गया है, 

⇒ 

इसलिए, 

⇒ 

⇒ 

⇒ 

⇒ 

⇒ 

∴ सही उत्तर विकल्प (3) है।

धारणा:

गणना:

I = 

= (4 – 2) + 

= 2 + 

= 2 +       (∵ log m – log n = log (m/n))

= 2 + 

संकल्पना:

समाकलन के गुण​धर्म:

गणना:

दिया गया है:

f(x) = log sin x.

I =   x f(x) dx

I =  x log sin x dx      ------(i)​

गुण​धर्म को लागू करने पर, 

I =  (π - x) log sin(π - x) dx      ------(ii)​

(i) और (ii) को जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं,

⇒ 2I =  π log sin x dx

⇒ I = 

⇒ I = π (-  ln 2)

⇒ I = -  ln 2

∴  x log sin x dx = -  ln 2

संकल्पना:

समाकलन के गुण​धर्म:

गणना:

दिया गया है:

f(x) = log sin x.

I =  f(x) dx

⇒ I =  log sin x dx      ------(i)

गुण​धर्म को लागू करने पर, 

I =   log sin ( - x) dx =   log cos x dx      ------(ii)

समीकरण (i) और (ii) को जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं,

2I =   (log sin x + log cos x) dx

⇒ 2I =   (log sin x. cos x) dx

⇒ 2I =   log  dx

⇒ 2I =   log sin2x dx - ln 2  dx

⇒ 2I =   log sin2x dx -  ln 2

माना 2x = z 2dx = z

⇒ 2I =  ln z  -  ln 2

⇒ 2I =  2 ×   log z dz -  ln 2

⇒ 2I = I -  ln 2

⇒ I = -  ln 2

∴ I =  log sin x = -  ln 2