Domain of a Function MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Domain of a Function - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

दिया गया है,

फलन f(x) = |x - 3| है, और हमें वक्र और रेखा y = 3 से परिबद्ध क्षेत्रफल को ज्ञात करना है।

प्रतिच्छेदन बिंदुओं को ज्ञात करने के लिए, हम फलन को 3 के बराबर रखते हैं:

x के लिए हल करना:

- के लिए, , जो x = 6 देता है।
- (x

इसलिए, प्रतिच्छेदन बिंदु x = 0 और x = 6 हैं।

क्षेत्रफल की गणना x = 0 से x = 6 तक वक्र और रेखा के बीच के अंतर को समाकलित करके की जा सकती है। निरपेक्ष मान फलन के कारण समाकल को दो भागों में विभाजित किया गया है:

x [0, 3] में, (f(x) = 3 - x), और (x [3, 6] में), (f(x) = x - 3).

दोनों समाकलों की गणना करें:

- x [0, 3] के लिए:

- x [3, 6] के लिए:

चरण 4: कुल क्षेत्रफल दो क्षेत्रफलों का योग है:

∴ वक्र और रेखा से परिबद्ध कुल क्षेत्रफल 9 वर्ग इकाई है।

सही उत्तर विकल्प (4) है। 

गणना:

दिया गया है,

फलन है, जो एक निरपेक्ष मान फलन है।

एक निरपेक्ष मान फलन का प्रांत सभी वास्तविक संख्याएँ होती हैं, क्योंकि निरपेक्ष मान फलन x के सभी मानों के लिए परिभाषित है। फलन x के लिए धनात्मक और ऋणात्मक दोनों निवेश का प्रबंधन करता है।

चूँकि निरपेक्ष मान फलन के लिए कोई प्रतिबंध या अपरिभाषित बिंदु नहीं हैं, इसलिए प्रांत सभी वास्तविक संख्याएँ हैं।

∴ फलन का प्रांत है। 

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।

उत्तर (4)

हल:

x + |x| =

⇒ , प्रांत x > 0 है, क्योंकि 2x ≠ 0 इसी प्रकार,

परिभाषित है जब 3x + 10 - x² > 0

⇒ x² - 3x - 10

(x - 5) (x + 2)

⇒ x ∈ (-2, 5)

⇒ प्रांत होगा (0, ∞) ∩ (-2, 5) = (0, 5)

⇒ (1 + a)² + b² = 1 + 25 = 26

log₄log₆(3 + 4x - x²) > 0

फलन f(x) के परिभाषित होने के लिए:

⇒0 \;\Longrightarrow\; x^2 - 4x - 3

⇒ 1\)

⇒ 1 \;\Longrightarrow\; 3 + 4x - x^2>6 \;\Longrightarrow\; x^2 - 4x + 3

⇒ 0 ⟹log_6(3+4x−x^2)>1⟹x∈(1,3)\)

इसलिए, प्रांत (a, b) = (1, 3) है।

⇒ b−a=3−1= 2

⇒

⇒ जहाँ p = 5, q = 1, r = 1

∴ p + q + r = 5 + 2  = 3 = 10

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 1 है। 

गणना:

दिया गया फलन है

प्रांत ज्ञात करने के लिए

⇒ 0, \qquad \biggl|\frac{4+3x}{2-x}\biggr|\le 1.\)

अब, 0 \;\Longrightarrow\; x\in(-\infty,-\tfrac54)\,\cup\,(\tfrac32,\infty). \)

और

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

इसलिए, हमें f का प्रांत प्राप्त होता है, चूँकि 

इसका अर्थ है कि α = -3 और β = -5/4

तब,

⇒

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 2 है।

संकल्पना:

sin-1 x का डोमेन [-1, 1] है

एक असमानता के दोनों पक्षों से समान राशि को जोड़ने या घटाने पर अपरिवर्तित असमान चिन्ह छोड़ता है। 

गणना:

दिया गया है: f(x) = sin-1 (x + 1) 

चूँकि हम जानते हैं, sin1 x का डोमेन [-1, 1] है

इसलिए, -1 ≤ (x + 1) ≤ 1

उपरोक्त असमानता में 1 को घटाने पर,

⇒ -1 - 1 ≤ x + 1 - 1 ≤ 1 - 1

⇒ -2 ≤ x ≤ 0

∴ sin-1 (x + 1) का डोमेन [-2, 0] है

Mistake Points[-2, 0] [-2, 0] से अलग है। '[' and ']' इंगित करता है कि अंतिम संख्या (2 और 0) भी शामिल है। '(' and ')' इंगित करता है कि 2 और 0 को ध्यान में नहीं रखा गया है।

संकल्पना:

1. फलन का डोमेन:

• एक फलन का डोमेन स्वतंत्र चर के सभी संभव मानों का समूह होता है। वह एक फलन के लिए सभी संभव इनपुट होता है।

गणना:

माना कि दिया गया फलन अंश और हर के रूप में है। फलन हर के सभी गैर शून्य मानों के लिए अच्छी तरह से परिभाषित होगा। 

इसलिए,  का अर्थ है कि .

उसीप्रकार वर्गमूल फलन सभी गैर-ऋणात्मक मानों के लिए अच्छी तरह से परिभाषित है। 

इसलिए,  0\) का अर्थ है कि  2.\)

अतः दिए गए फलन का डोमेन है। 

संकल्पना:

हम जानते हैं कि, एक फलन f(x) का डोमेन सभी मानों का समूह होता है जिसके लिए फलन परिभाषित होता है, और फलन की सीमा f द्वारा लिए गए सभी मानों का समूह होता है। 

गणना:

दिया गया फलन f(x) =  है। 

एक फलन f(x) का डोमेन सभी मानों का समूह होता है जिसके लिए फलन परिभाषित होता है, और फलन की सीमा f द्वारा लिए गए सभी मानों का समूह होता है। 

डोमेन के लिए, 

⇒

⇒

⇒

⇒ -4 ≤ x ≤ 4

इसलिए, f(x) का डोमेन = [-4, 4]

सीमा के लिए,

f(x), x = 0 पर अधिकतम है अर्थात् f(0) = 4 

f(x), x = 4 पर न्यूनतम है अर्थात् f(4) = 4  

इसलिए, f(x) की सीमा = [0, 4]

अतः फलन (x) = फलन f(x) =  की डोमेन और सीमा [-4, 4], [0, 4] हैं।  

अवधारणा:

• फलन f(x) का डोमेन x के मानों का समूह है जिसके लिए फलन को परिभाषित किया जाता है।
• cos θ का मान हमेशा अंतराल [-1, 1] में रहता है।
• cos-1 (cos θ) = θ
• cos (cos-1 x) = x

गणना:

मान लीजिए कि cos-1 (2x + 1) = θ

⇒ cos (cos-1 (2x + 1)) = cos θ

⇒ cos θ = 2x + 1

चूंकि, -1 ≤ cos θ ≤ 1

⇒ -1 ≤ 2x + 1 ≤ 1

⇒ -1 - 1 ≤ 2x + 1 - 1 ≤ 1 - 1

⇒ -2 ≤ 2x ≤ 0

⇒ 

⇒ -1 ≤ x ≤ 0

⇒ x ∈ [-1, 0]

∴ फलन का डोमेन बंद अंतराल[-1, 0] है।

अवधारणा:

एक फलन का डोमेन स्वतंत्र चर के संभावित मानों का पूरा समुच्चय है।

√f(x) का डोमेन ज्ञात करने के लिए f(x) ≥ o सेट करें

गणना:

दिया गया:  द्वारा परिभाषित फलन f : R → R

हम जानते हैं कि एक फलन का डोमेन स्वतंत्र चर के संभावित मानों का पूरा समुच्चय है।

डोमेन खोजने के लिए

= x2 - x - 110 ≥ 0

= x2 - 11x + 10x - 110 ≥ 0

= x(x - 11) + 10(x - 11) ≥ 0

= (x + 10)(x - 11) ≥ 0

= x ≤ - 10 या x ≥ 11

= x ∈ (- ∞, - 10] ∪ [11, ∞)

द्वारा परिभाषित फलन f : R → R का डोमेन (- ∞, - 10] ∪ [11, ∞) है

अवधारणा:

डोमेन x के सभी संभावित मान का समुच्चय होता है जिसका f(x) का परिमित मूल्य होता है।

गणना:

दिया गया है कि फलन f(x) = 3x

फलन का सभी x ∈ (-∞, ∞) के लिए एक सीमित मान होगा

Mistake Pointsदिए गए फलन का परिसर (0,∞). 0 से होगा। जब x = -∞, और ∞ जब x = ∞ है।

अवधारणा:

प्रांत: फलन f(x) का प्रांत x के मान के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिसके लिए फलन f(x) उपस्थित है।

गणना:

हमें फलन  का प्रांत ज्ञात करना है। 

हम जानते हैं कि वर्गमूल सदैव धनात्मक होता है।

इसलिए, |x| - x > 0  --- (|x| - x ≠ 0)

⇒ |x| > x 

जैसा कि हम देख सकते हैं कि (-∞, 0) में |x|, x से बड़ा है। 

संकल्पना:

फलन की आवर्ती:

• यदि एक फलन को स्थिर आवर्ती में दोहराया जाता है, तो हम कहते हैं कि यह एक आवर्ती फलन है। 
• इसे f(x) = f(x + T) के समान दर्शाया जाता है, T वास्तविक संख्या है और यह फलन की आवर्ती है। 

गणना:

हमें फलन f(x) = sin x की आवर्ती ज्ञात करनी है। 

अब, 

f(x + 2π) = sin (x + 2π) = sin x

⇒ f(x + 2π) = f(x)

∴ sin x की आवर्ती 2π है। 

संकल्पना:

डोमेन: फलन f(x) के डोमेन को x के मान के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसके लिए फलन  f(x) मौजूद है। 

गणना:

हमें फलन   का डोमेन ज्ञात करना है। 

हम जानते हैं कि वर्गमूल सदैव धनात्मक होता है। 

इसलिए, |x| - x > 0         (|x| - x ≠ 0)

⇒ |x| > x 

चूँकि हम देख सकते हैं कि |x|, (-∞, 0) में x से बड़ा है। 

संकल्पना:

फलन की आवर्ती:

• यदि एक फलन को स्थिर आवर्ती में दोहराया जाता है, तो हम कहते हैं कि यह एक आवर्ती फलन है। 
• इसे f(x) = f(x + T) के समान दर्शाया जाता है, T वास्तविक संख्या है और यह फलन की आवर्ती है। 

गणना:

हमें फलन f(x) = sin x की आवर्ती ज्ञात करनी है। 

अब, 

f(x + 2π) = sin (x + 2π) = sin x

⇒ f(x + 2π) = f(x)