Complex Analysis MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Complex Analysis - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Jul 4, 2025
Latest Complex Analysis MCQ Objective Questions
Complex Analysis Question 1:
निम्नलिखित में से कौन सा/से विकल्प सही है/हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Complex Analysis Question 1 Detailed Solution
व्याख्या:
मान लीजिए z = x + iy
हम जानते हैं कि
sin z =
विकल्प (3) और (4) सत्य हैं।
मान लीजिए z = iy तब
|sin z| = |sin iy| = |
इसलिए, सभी z ∈ ℂ के लिए, |sin z| ≤ 1 सत्य नहीं है।
(1) असत्य है।
sin z और cos z के मानों को sin2z + cos2z में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है
सभी z ∈ ℂ के लिए, sin2z + cos2z = 1
(2) सत्य है।
Complex Analysis Question 2:
माना कि f:ℂ → ℂ एक वैश्लेषिक फलन है। ऐसे कौन से मामले हैं जब f(z) आवश्यक रूप से एक अचर फलन नहीं है?
Answer (Detailed Solution Below)
Complex Analysis Question 2 Detailed Solution
संप्रत्यय:
तत्समक प्रमेय: माना कि f(z) और g(z) एक प्रांत D में वैश्लेषिक फलन हैं और S, D का कोई उपसमुच्चय है जिसका एक सीमा बिंदु D में है। यदि सभी z ∈ S के लिए f(z) = g(z) है, तो सभी z ∈ D के लिए f(z) = g(z) है।
व्याख्या:
(1): f:ℂ → ℂ एक वैश्लेषिक फलन है
z = (1 + k/n) + i
सीमा बिंदु i है जो ℂ के अंदर स्थित है।
इसलिए, तत्समक प्रमेय से, सभी z ∈ ℂ के लिए f(z) = i है।
(1) असत्य है।
(2): यदि S पर कहीं भी f(z) ≠ 0, तो f अचर नहीं हो सकता क्योंकि एक अचर फलन g(z) = c में सभी z के लिए g'(z) = 0 होता है।
चूँकि Im(f'(z)) > 0 है, इसलिए f'(z) ≠ 0 है, इसलिए f अचर नहीं है।
(2) सत्य है।
(3): पूर्णांक ℤ, ℂ का एक गणनीय उपसमुच्चय बनाते हैं और ℂ में सघन नहीं हैं।
तत्समता प्रमेय से, ℂ के एक असघन उपसमुच्चय पर अचर एक विश्लेषणात्मक फलन सर्वत्र अचर होना आवश्यक नहीं है।
(3) और (4) सत्य हैं।
Complex Analysis Question 3:
माना f ∶ ℂ → ℂ को सर्वत्र वैश्लेषिक फलन है, जहाँ सभी n ∈ ℕ के लिए,
Answer (Detailed Solution Below)
Complex Analysis Question 3 Detailed Solution
अवधारणा:
सर्वसमिका प्रमेय: माना f और g एक प्रांत D में दो विश्लेषणात्मक फलन हैं और माना S = {z ∈ D: f(z) = g(z)} का D में एक सीमांत बिंदु है। तब, f(z) = g(z) ∀ z ∈ D
व्याख्या:
दिया गया है: f ∶ ℂ → ℂ सर्वत्र वैश्लेषिक फलन है, जहाँ सभी n ∈ ℕ के लिए,
इसलिए, माना
इसलिए, f(z) = z4 = g(z)
अतः सभी n ∈ ℕ के लिए,
अब, {
इसलिए सर्वसमिका प्रमेय से, सभी z ∈ ℂ के लिए, f(z) = z4
अतः सही उत्तर विकल्प (3) है।
Complex Analysis Question 4:
मान लीजिए f(z) = exp
Answer (Detailed Solution Below)
Complex Analysis Question 4 Detailed Solution
अवधारणा:
f(z) का z = 0 पर अवशेष, f(z) के मैक्लॉरिन श्रेणी प्रसार में
व्याख्या:
f(z) = exp
=
=
इसलिए उपरोक्त व्यंजक में
=
=
इसलिए विकल्प (1) सही है।
Complex Analysis Question 5:
मान लीजिये
निम्नलिखित में से कौन-सा गलत है?
Answer (Detailed Solution Below)
Complex Analysis Question 5 Detailed Solution
व्याख्या:
=
f(z) =
इसके अलावा,
तुलना करने पर, हमें मिलता है
a1 = 1, a2 = 1/2
a1 ≠ a2
विकल्प (2) गलत है।
अब, f'(z) =
विकल्प (1) सही है।
समीकरण (i) से, हम देख सकते हैं कि सभी n ≥ 1 के लिए an ≥ 0 है।
विकल्प (3) सही है।
इसके अलावा हम देख सकते हैं कि n ≥ 3 के लिए, an तेज़ी से घटता है।
इसलिए योग अभिसारित होता है और 2 से कम होता है।
विकल्प (4) सही है।
Top Complex Analysis MCQ Objective Questions
मानें कि सम्मिश्र समतल में, C एक धनात्मक रूप से अभिविन्यस्त वृत्त है जो मूल बिंदु पर केंद्रित एवं त्रिज्या 3 का है। तब समाकलन
Answer (Detailed Solution Below)
Complex Analysis Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
व्याख्या:
C मूल के केंद्र पर 3 त्रिज्या का सम्मिश्र तल में धनात्मक रूप से उन्मुख वृत्त हो।
z2 = 0 ⇒ z = 0 और
ez - e-z = 0 ⇒ ez = e-z ⇒ z = 0
अब,
=
=
=
इसलिए
अतः
विकल्प (4) सही है।
किसी धनात्मक पूर्णांक p के लिए निम्न सममितीय (होलोमॉर्फिक) फलन पर विचार करें
p के किन मानों के लिए ऐसा सममितीय (होलोमॉर्फिक) फलन g ∶
Answer (Detailed Solution Below)
Complex Analysis Question 7 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
एक फलन f(z) को एक डोमेन D में होलोमोर्फिक कहा जाता है यदि f(z) में D में कोई विलक्षणता नहीं है।
व्याख्या:
g'(z) =
⇒ g'(z) =
⇒ g'(z) =
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर हमें प्राप्त होता है
g(z) =
इसलिए g(z) होलोमोर्फिक नहीं हो सकता है यदि p, 2, 3 और 4 का गुणज है।
∴ विकल्प (1), (3) और (4) सही नहीं हैं।
इसलिए विकल्प (2) सही है
मान लीजिए f(z) = exp
Answer (Detailed Solution Below)
Complex Analysis Question 8 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
f(z) का z = 0 पर अवशेष, f(z) के मैक्लॉरिन श्रेणी प्रसार में
व्याख्या:
f(z) = exp
=
=
इसलिए उपरोक्त व्यंजक में
=
=
इसलिए विकल्प (3) सही है।
ऐसे z ∈ ℂ कि 1 − z − z2 ≠ 0 हो, के लिए f(z) =
Answer (Detailed Solution Below)
Complex Analysis Question 9 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
एक संपूर्ण फ़ंक्शन एक जटिल-मूल्यवान फ़ंक्शन है जो एक जटिल समन्वय स्थान में एक डोमेन में प्रत्येक बिंदु के पड़ोस में एक जटिल अंतर है
स्पष्टीकरण:
f(z) =
f(z) की विलक्षणताएँ द्वारा दी गई हैं
1 - z - z 2 = 0 ⇒ z =
तो f(z) में z =
अतः विकल्प (1) और (2) दोनों गलत हैं
f के पास टेलर श्रृंखला का विस्तार है
f(z) =
तो a 0 = f(0) = 1
और a 1 =
अब, f'(z) = -
तो f'(0) = 1
अतः विकल्प (4) सही है और (3) गलत है
मान लीजिए f एक सर्वत्र फलन है। निम्नलिखित में से कौन सा कथन असत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Complex Analysis Question 10 Detailed Solution
Download Solution PDFसंप्रत्यय:
ल्यूवेल प्रमेय द्वारा, कोई भी सर्वत्र फलन (एक ऐसा फलन जो पूरे सम्मिश्र समतल पर होलोमोर्फिक है) जो परिबद्ध है, वह अचर होना चाहिए।
व्याख्या:
विकल्प 1:
यदि
ल्यूवेल के प्रमेय द्वारा,
यह कथन सत्य है।
विकल्प 2:
यदि
चरघातांकी फलन बहुत तेज़ी से बढ़ता है। यदि वास्तविक और काल्पनिक भागों के निरपेक्ष मानों के योग का चरघातांक परिबद्ध है, तो
यह कथन सत्य है।
विकल्प 3:
यदि योग
यह कथन सत्य है।
विकल्प 4:
यदि
ज्या फलन स्वाभाविक रूप से परिबद्ध है (चूँकि
यह कथन असत्य है।
इसलिए, हमारा उत्तर विकल्प 4) है।
मानें कि f ऐसा सर्वत्र वैश्लेषिक फलन है जो |f(z)| ≤ ey को सभी z = x + iy ∈ ℂ, जहां x, y ∈ ℝ, के लिए संतुष्ट करता है। निम्न वक्तव्यों में से कौन-सा बक्तव्य सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Complex Analysis Question 11 Detailed Solution
Download Solution PDFव्याख्या:
f एक पूर्ण फलन हो जो |f(z)| ≤ ey को सभी z = x + iy ∈ ℂ के लिए संतुष्ट करता है
(1): f(z) = ce−iz
इसलिए |f(z)| = |ce−iz| = |ce-i(x + iy)| = |ce-ix ey| ≤ |c|ey ≤ ey कुछ c ∈ ℂ के लिए जहाँ |c| ≤ 1 (क्योंकि |e-ix| ≤ 1 सभी x ∈
विकल्प (1) सही है।
(2): f(z) = ceiz
इसलिए |f(z)| = |ceiz| = |cei(x + iy)| = |ceix e-y| ≤ e-y कुछ c ∈ ℂ के लिए जहाँ |c| ≤ 1 (क्योंकि |e-ix| ≤ 1 सभी x ∈
विकल्प (2) गलत है।
(3): f(z) = e−ciz
इसलिए |f(z)| = |e−ciz | = |e-ci(x + iy)| = |e-cix ecy| ≤ ecy ≤ ey केवल c = 1 के लिए (क्योंकि |e-ix| ≤ 1 सभी x ∈
विकल्प (3) गलत है।
(4): f(z) = eciz
इसलिए |f(z)| = |eciz | = |eci(x + iy)| = |ecix e-cy| ≤ e-cy ≤ ey केवल c = - 1 के लिए (क्योंकि |e-ix| ≤ 1 सभी x ∈
विकल्प (4) गलत है।
वक्र γ पर विचार कीजिए जो इस प्रकार परिभाषित है:
तब
Answer (Detailed Solution Below)
Complex Analysis Question 12 Detailed Solution
Download Solution PDFसंप्रत्यय:
कौशी अवशेष प्रमेय:
मान लीजिए
व्याख्या:
हम इस समाकल को हल करने के लिए कौशी अवशेष प्रमेय लागू करेंगे। समाकल्य है
इस फलन में
यहाँ z = 0 की घुमाव संख्या 2 है और z = 2 की घुमाव संख्या 1 है।
अवशेष प्रमेय लागू करने पर:
चूँकि वक्र
I =
=
=
इसलिए, सही विकल्प (3) है।
मान लीजिए γ सम्मिश्र तल में धनात्मक अभिविन्यस्त वृत्त है, जो {z ∈
Answer (Detailed Solution Below)
Complex Analysis Question 13 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
कॉची समाकल प्रमेय:
यदि एक सम्मिश्र फलन f(z) एक सरलतः संयोजित डोमेन के अंदर एक बंद समोच्च C के अंदर और उस पर विश्लेषणात्मक है, और यदि a, C के मध्य में कोई बिंदु है, तो
f(a) =
व्याख्या:
अव्युत्क्रमित बिंदु दिए गए हैं
z2 - 1 = 0 ⇒ z = 1, z = -1
केवल अव्युत्क्रमित बिंदु जो γ के अंदर स्थित है, वह z = 1 है।
मान लीजिये f(z) =
इसलिए कॉची के समाकल परीक्षण का उपयोग करते हुए
विकल्प (1) सही है।
एक सम्मिश्र संख्या a के लिए जिसके लिए 0
Answer (Detailed Solution Below)
Complex Analysis Question 14 Detailed Solution
Download Solution PDFसंप्रत्यय:
" id="MathJax-Element-180-Frame" role="presentation" style=" word-spacing: 0px; position: relative;" tabindex="0">
से जोड़ती है और धनात्मक वास्तविक अक्ष के साथ बनाती है।" id="MathJax-Element-181-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">" id="MathJax-Element-191-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">
से जोड़ती है और धनात्मक वास्तविक अक्ष के साथ बनाती है।" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">से जोड़ती है और धनात्मक वास्तविक अक्ष के साथ बनाती है।" id="MathJax-Element-192-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">
दिया गया है,
हमें यह पता लगाना है कि कौन सा कथन सत्य है।
विकल्प 1: इसका तात्पर्य है कि एक सम्मिश्र संख्या
यदि यह सत्य है, तो हम z और a के लिए विशिष्ट उदाहरणों का प्रयास कर सकते हैं इस शर्त के तहत कि |z| .
मान लीजिए
यह शर्त
स्पष्ट रूप से,
कथन गलत है क्योंकि हमें एक प्रति उदाहरण मिला जहाँ |
विकल्प 2: इसका तात्पर्य है कि यदि
यह सत्य है क्योंकि z का मापांक इस समीकरण को संतुष्ट करेगा। इसलिए, यह कथन सत्य है।
विकल्प 3: इसका तात्पर्य है कि इकाई वृत्त पर एक बिंदु के लिए (अर्थात, |z| = 1), z - a का मापांक |1 -
इसे सत्यापित करने के लिए, हम z और a के लिए विशिष्ट उदाहरणों का प्रयास करेंगे इस शर्त के तहत कि |z| = 1 और
मान लीजिए z = 1 (चूँकि |z| = 1) और
चूँकि z = 1 और
इसलिए, असमिका
इसलिए, कथन सत्य नहीं है।
विकल्प 4: यह सुझाव देता है कि यदि 1 -
माना कि
चूँकि
इस स्थिति में,
स्पष्ट रूप से,
और इसलिए यह कथन को सत्यापित नहीं करता है।
कथन मान्य नहीं प्रतीत होता है।
विकल्प 2) सही है।
माना कि γ सम्मिश्र तल में धनात्मक रूप से अभिविन्यस्त वृत्त है, जो {z ∈
Answer (Detailed Solution Below)
Complex Analysis Question 15 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
कॉची समाकल प्रमेय:
यदि एक सम्मिश्र फलन f(z) एक सरल-संबद्ध डोमेन के अंदर एक बंद समोच्च C के अंदर और उस पर विश्लेषणात्मक है, और यदि a, C के मध्य में कोई बिंदु है, तो
f(a) =
व्याख्या:
इसलिए ध्रुव दिए गए हैं
(z - 1)(z2 + z +1) = 0 ⇒ z = 1, z =
γ के अंदर ध्रुव z = 1 है
अतः f(z) =
इसलिए कॉची समाकल प्रमेय द्वारा,
विकल्प (2) सही है