Compactness & Connectedness MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Compactness & Connectedness - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संकल्पना:

(i) एक समुच्चय को बंद माना जाता है यदि इसमें इसके सभी सीमा बिंदु शामिल हैं।

(ii) समुच्चय जुड़ा हुआ है यदि डिस्क के भीतर या सीमा पर किन्हीं दो बिंदुओं को पूर्ण रूप से डिस्क के भीतर स्थित एक सतत वक्र द्वारा जोड़ा जा सकता है।

(iii) समुच्चय उत्तल है यदि डिस्क के भीतर या सीमा पर दो बिंदुओं को जोड़ने वाला कोई रेखा खंड पूर्ण रूप से डिस्क के भीतर स्थित है।

स्पष्टीकरण:

बंद: समुच्चय {(x, y) ∈ IR2 ; x2 + y2 ≤ 16} मूल बिंदु पर केंद्र त्रिज्या 4 के साथ एक बंद डिस्क को दर्शाते हैं। चूँकि समुच्चय में इसके सभी सीमा बिंदु शामिल हैं, इसलिए यह बंद है।

संयोजित: समुच्चय संयोजित है क्योंकि डिस्क के भीतर या सीमा पर किन्हीं दो बिंदुओं को पूर्ण रूप से डिस्क के भीतर स्थित एक सतत वक्र द्वारा जोड़ा जा सकता है। समुच्चय एक एकल संयोजित घटक बनाता है।

उत्तल: समुच्चय उत्तल है क्योंकि डिस्क के भीतर या सीमा पर दो बिंदुओं को संयोजित करने वाला कोई भी रेखा खंड पूर्ण रूप से डिस्क के भीतर स्थित है।

व्याख्या:

S₁ के लिए X = और Y = {(x, y): (x + 1)² + y² ≤ 1} ∪ {(x, y): (x - 1)2 + y2 ≤ 1} लेने पर,

यहाँ Y पथ संयोजित है और इसलिए का संयोजित उपसमुच्चय है।

अब, Y^∘ = {(x, y): (x + 1)2 + y2 {(x, y): (x - 1)2 + y2

इसलिए Y∘ संयोजित नहीं है।

S1 असत्य है। 

S2 के लिए X = और Y = (0, 2) लेने पर,

तब ∂Y = Y की परिसीमा = {0, 2}

यहाँ का संयोजित उपसमुच्चय है लेकिन ∂Y संयोजित नहीं है। 

S2 असत्य है। 

(2), (4) सही हैं। .

व्याख्या:

संहत समुच्चय: एक समुच्चय संहत तब होता है, यदि समष्टि के प्रत्येक खुले आवरक 
में एक परिमित उपावरण होता है।

परिमित समुच्चय: किसी समुच्चय को परिमित समुच्चय कहा जाता है, यदि उसमें तत्वों की संख्या परिमित होती है।

तुल्यांक समुच्चय: तुल्यांक समुच्चय वे समुच्चय होते हैं, जिनमें तत्वों की संख्या समान होती है, हालाँकि तत्व स्वयं भिन्न हो सकते हैं।

रिक्त समुच्चय: किसी समुच्चय को रिक्त समुच्चय कहा जाता है, यदि उसमें कोई तत्व न हो।

इसलिए यदि किसी समुच्चय S के प्रत्येक खुले आवरक में S का एक उपावरण निहित होता है, तो S को संहत समुच्चय कहा जाता है

अतः (1) सही है।

(1) परिभाषित करें, f : (0, 1) → (0, 1] इस प्रकार कि

तब f(0, 1) = (0, 1]

इसलिए, (0, 1) → (0, 1] से एक सतत फलन और आच्छादक फलन मौजूद है।

विकल्प (1) सही है

(2) स्मरण करें: एक सतत फलन संहत समुच्चय को संहत समुच्चय में प्रतिचित्रित करता है।

अब, क्योंकि X = [0, 1] संहत है।

इसलिए, f[0, 1] भी संहत है।

लेकिन y = (0, 1] जो संहत नहीं है।

∴ [0, 1] → (0, 1] से कोई सतत आच्छादक फलन नहीं है।

विकल्प (2) गलत है

स्मरण करें: f(x) = tan x, (-π/2, π/2) → R से एक आच्छादक सतत फलन है। h(x) = लें, h: (0, 1) → (-π/2, π/2) तब h आच्छादक और सतत है।

अब, g(x): (0, 1) → ℝ इस प्रकार परिभाषित करें

f(h(x)) = g(x) =

तब g(x) एक सतत और आच्छादक फलन है।

∴ (0, 1) से R तक एक सतत और आच्छादक फलन मौजूद है।

विकल्प (3) सही है

(4) स्मरण करें: एक सतत फलन संयोजित समुच्चय को संयोजित समुच्चय में प्रतिचित्रित करता है।

यहाँ, X = (0, 2) एक संयोजित समुच्चय है।

यदि f(x) सतत है तो f(0, 2) भी संयोजित है।

यदि f(x) आच्छादक है तो f[(0, 2)] = {0, 1} संयोजित है।

लेकिन {0, 1} संयोजित नहीं है।

स्मरण करें: R के केवल संयोजित उपसमुच्चय अंतराल होते हैं।

∴ (0, 2) → {0, 1} से कोई सतत आच्छादक फलन नहीं है।

विकल्प (4) गलत है

व्याख्या:

S₁ के लिए X = और Y = {(x, y): (x + 1)² + y² ≤ 1} ∪ {(x, y): (x - 1)2 + y2 ≤ 1} लेने पर,

यहाँ Y पथ संयोजित है और इसलिए का संयोजित उपसमुच्चय है।

अब, Y^∘ = {(x, y): (x + 1)2 + y2 {(x, y): (x - 1)2 + y2

इसलिए Y∘ संयोजित नहीं है।

S1 असत्य है। 

S2 के लिए X = और Y = (0, 2) लेने पर,

तब ∂Y = Y की परिसीमा = {0, 2}

यहाँ का संयोजित उपसमुच्चय है लेकिन ∂Y संयोजित नहीं है। 

S2 असत्य है। 

(2), (4) सही हैं। .

व्याख्या:

संहत समुच्चय: एक समुच्चय संहत तब होता है, यदि समष्टि के प्रत्येक खुले आवरक 
में एक परिमित उपावरण होता है।

परिमित समुच्चय: किसी समुच्चय को परिमित समुच्चय कहा जाता है, यदि उसमें तत्वों की संख्या परिमित होती है।

तुल्यांक समुच्चय: तुल्यांक समुच्चय वे समुच्चय होते हैं, जिनमें तत्वों की संख्या समान होती है, हालाँकि तत्व स्वयं भिन्न हो सकते हैं।

रिक्त समुच्चय: किसी समुच्चय को रिक्त समुच्चय कहा जाता है, यदि उसमें कोई तत्व न हो।

इसलिए यदि किसी समुच्चय S के प्रत्येक खुले आवरक में S का एक उपावरण निहित होता है, तो S को संहत समुच्चय कहा जाता है

अतः (1) सही है।

संकल्पना:

(i) एक समुच्चय को बंद माना जाता है यदि इसमें इसके सभी सीमा बिंदु शामिल हैं।

(ii) समुच्चय जुड़ा हुआ है यदि डिस्क के भीतर या सीमा पर किन्हीं दो बिंदुओं को पूर्ण रूप से डिस्क के भीतर स्थित एक सतत वक्र द्वारा जोड़ा जा सकता है।

(iii) समुच्चय उत्तल है यदि डिस्क के भीतर या सीमा पर दो बिंदुओं को जोड़ने वाला कोई रेखा खंड पूर्ण रूप से डिस्क के भीतर स्थित है।

स्पष्टीकरण:

बंद: समुच्चय {(x, y) ∈ IR2 ; x2 + y2 ≤ 16} मूल बिंदु पर केंद्र त्रिज्या 4 के साथ एक बंद डिस्क को दर्शाते हैं। चूँकि समुच्चय में इसके सभी सीमा बिंदु शामिल हैं, इसलिए यह बंद है।

संयोजित: समुच्चय संयोजित है क्योंकि डिस्क के भीतर या सीमा पर किन्हीं दो बिंदुओं को पूर्ण रूप से डिस्क के भीतर स्थित एक सतत वक्र द्वारा जोड़ा जा सकता है। समुच्चय एक एकल संयोजित घटक बनाता है।

उत्तल: समुच्चय उत्तल है क्योंकि डिस्क के भीतर या सीमा पर दो बिंदुओं को संयोजित करने वाला कोई भी रेखा खंड पूर्ण रूप से डिस्क के भीतर स्थित है।