आधार {(1, 3), (2, 0)} के सापेक्ष T(x, y) = (3y, 3x + y) द्वारा परिभाषित R2 पर T का आव्यूह निरूपण क्या है?

अवधारणा:

आधार B = {v1, v2} के सापेक्ष R2 पर T का आव्यूह A इस प्रकार दिया गया है

$A=\left[\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}\right]$

जहाँ

T(v1) = av1 + bv2 और T(v2) = cv1 + dv2

गणना:

जैसे कि हमारे पास है

T(x, y) = (2y, 3x - y) और B = {v 1 , v 2 } = {(1, 3), (2, 5)}

तो, इसका उपयोग करके हमारे पास है,

$T(v_1)=T\left[\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3(3)\\ 3(1)+3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}9\\ 6\end{array}\right]$

$T(v_2)=T\left[\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3(0)\\ 3(2)+0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 6\end{array}\right]$

जैसे, T(v1) = av1 + bv2

$\left[\begin{array}{c}9\\ 6\end{array}\right]=a\left[\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right]+b\left[\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right]$

उपरोक्त समीकरण निम्न रूप में लिखा जा सकता है:

a + 2b = 9      ...(i)

3a = 6      ...(ii)

दो समीकरणों को हल करके हमारे पास है

a = 2, b = 3.5

जैसे, T(v2) = cv1 + dv2

$\left[\begin{array}{c}0\\ 6\end{array}\right]=c\left[\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right]+d\left[\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right]$

उपरोक्त समीकरण निम्न रूप में लिखा जा सकता है:

c + 2d = 0      ...(iii)

3c = 6      ...(iv)

दो समीकरणों को हल करके हमारे पास है

c = 2, d = -1.

अत: T का आव्यूह A इस प्रकार दिया गया है

$A=\left[\begin{array}{cc}2& 2\\ 3.5& -1\end{array}\right]$

इसलिए आधार से संबंधित परिवर्तन द्वारा परिभाषित R2 पर T का आव्यूह प्रतिनिधित्व $\left[\begin{array}{cc}2& 2\\ 3.5& -1\end{array}\right]$ है