3s कक्षक का हाइड्रोजन-समान रेडियल तरंग फलन दिया गया है:

\(R_{3,0}=\dfrac{1}{9\sqrt3}\left(\dfrac{Z}{a_0}\right)^{3/2}\left(6-2ρ+\dfrac{ρ^2}{9}\right)e^{-ρ/6}\)

जहाँ ρ = 2Zr / a₀; Z = परमाणु क्रमांक, r = नाभिक से दूरी और a₀ = बोहर त्रिज्या।

3s कक्षक के रेडियल नोडों की स्थिति (a₀ की इकाइयों में) कहाँ पर हैं?

संप्रत्यय:

• एक परमाणु में इलेक्ट्रॉन भी यह द्वैत प्रकृति रखते हैं। उनका आकार छोटा होने और द्रव्यमान नगण्य होने के कारण उनमें तरंग प्रकृति महत्वपूर्ण है।
• एक कक्षक इलेक्ट्रॉन की तरंग जैसी प्रकृति का वर्णन करता है।
• कक्षक गणितीय फलन हैं जिनका उपयोग इलेक्ट्रॉन को खोजने की प्रायिकता की गणना करने के लिए किया जाता है जिसे 'ψ' से दर्शाया जाता है।
• इलेक्ट्रॉन को खोजने की प्रायिकता इन कक्षकों में अधिकतम होती है।
• तरंग फलनों के वर्ग 'ψ2' हमें इलेक्ट्रॉनों का प्रायिकता घनत्व देता है।
• तरंग फलनों के दो भाग होते हैं:
  • रेडियल - हमें कक्षकों का विस्तार या आकार देता है
  • कोणीय - हमें अंतरिक्ष में कक्षकों का ओरिएंटेशन देता है।
• वे बिंदु जहाँ तरंग फलन शून्य हो जाता है, नोड कहलाते हैं।

गणना:

दिया गया है:

निकाय का तरंग फलन = \(R_{3,0}=\dfrac{1}{9√3}\left(\dfrac{Z}{a_0}\right)^{3/2}\left(6-2ρ+\dfrac{ρ^2}{9}\right)e^{-ρ/6}\)

• ρ = 2Zr / a0
• नोड्स के लिए, फलन

\(6 - 2p + \frac{ρ _{^{2}}}{9}=0\)

या, \(ρ ^{2} -18p + 54 = 0\)

द्विघात समीकरण के मूल तरंग फलन में नोड्स के बिंदुओं का प्रतिनिधित्व करते हैं।

ax² + bx + c के साथ उपरोक्त समीकरण की तुलना करने पर, मूल इस प्रकार दिए जाएँगे:

\(x = {-b ± √{b^2-4ac} \over 2a}\)

इसलिए, ρ = \( {-(-18) ± √{324-216} \over 2}\)

या, ρ = 9 ± 3√3

चूँकि \(\rho = \frac{2Zr}{a_{0}}\)

चूँकि हाइड्रोजन परमाणु में Z= 1 है, r इस प्रकार दिया गया है:

r = \(\rho a_{o}\over 2Z\)

r = \(\dfrac{9+3\sqrt3}{2Z},\dfrac{9-3\sqrt3}{2Z}\) a₀.

इसलिए, 3s कक्षक के रेडियल नोड्स की स्थिति (a0 की इकाइयों में) \(\dfrac{9+3\sqrt3}{2Z},\dfrac{9-3\sqrt3}{2Z}\) हैं।