मान लीजिए कि  है। S के बारे में निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?

संप्रत्यय:

एक एकैक आच्छादन दो समुच्चयों के बीच एक एकैक और आच्छादक प्रतिचित्रण होता है, जिसका अर्थ है कि एक समुच्चय में प्रत्येक अवयव दूसरे समुच्चय में एक अवयव के साथ अद्वितीय रूप से संगत होता है, और इसके विपरीत।

चूँकि एक अनंत और अगणनीय समुच्चय है, इसलिए इसका गणनीयता  (सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय) के समान है।

इसलिए, और  के बीच एकैक आच्छादन का अस्तित्व है।   . ...  . . .

व्याख्या:

आइए इस व्यंजक को सरल करें, 

अब गुणनखंड करने पर प्राप्त होता है, 

=

इस असमिका का सटीक बीजगणितीय जोड़-तोड़ जटिल है, लेकिन हम के आधार पर इसके व्यवहार को समझ सकते हैं। के बड़े मानों के लिए, अंश हर की तुलना में तेज़ी से बढ़ता है, इसलिए पर्याप्त रूप से बड़े के लिए व्यंजक अंततः 22 से बड़ा हो जाता है।

के लिए, के ऐसे मान मौजूद हैं जो असमिका को संतुष्ट करते हैं, और असमिका पर्याप्त रूप से बड़े के लिए सत्य है। इसका तात्पर्य है कि एक अनंत समुच्चय है, और इसकी कोई ऊपरी सीमा नहीं है।

विकल्प 1: "S रिक्त है" — यह गलत है क्योंकि असमिका बड़े के लिए मान्य है।

विकल्प 2: "S और के बीच एक द्विभाजन है" — यह गलत है। एक अनंत समुच्चय है, लेकिन यह की तरह अगणनीय है, इसलिए यह (प्राकृत संख्याएँ, जो गणनीय हैं) के साथ एकैक आच्छादन में नहीं हो सकता।

विकल्प 3: "S और के बीच एक द्विभाजन है" — यह सही है। के लिए अनंत और अगणनीय होने के कारण समुच्चय  की गणनीयता ​ के समान है, इसलिए और के बीच एक द्विभाजन मौजूद है
विकल्प 4: "S और एक अरिक्त परिमित समुच्चय के बीच एक एकैक आच्छादन है" — यह गलत है। S अनंत है।

सही उत्तर विकल्प 3) है।

$$\text{S और } \mathbb{N} \text{ के बीच एक द्विभाजन है।}$$