मान लीजिए (a_n)_n≥1 ℝ में एक परिबद्ध अनुक्रम है। निम्नलिखित में से कौन सा कथन असत्य है?

संप्रत्यय:

उच्चक(sup): किसी समुच्चय का उच्चक निम्नतम उपरि सीमा होती है। एक अनुक्रम \((a_n)\) के लिए,

\(\sup \{a_n | n \geq 1\}\) वह सबसे छोटी संख्या है जो अनुक्रम के सभी पदों से बड़ी या उसके बराबर है।

निम्नक(inf): निम्नक महत्तम निम्न परिबंध होती है। एक अनुक्रम \((a_n)\) के लिए, \(\inf \{a_n | n \geq 1\}\) वह

सबसे बड़ी संख्या है जो अनुक्रम के सभी पदों से छोटी या उसके बराबर है।

व्याख्या:

विकल्प 1:

अनुक्रम का निम्नक और उच्चक उसकी निम्न और उच्च सीमाओं को संदर्भित करता है। यदि ये दो सीमाएँ

समान हैं, तो इसका अर्थ है कि अनुक्रम एक ही बिंदु की ओर संकुचित हो रहा है।

यह एक सत्य कथन है, क्योंकि यदि निम्नतम और सर्वोच्च एक ही बिंदु पर अभिसरित होते हैं, तो अनुक्रम को उस बिंदु पर अभिसरित होना चाहिए।

विकल्प 2:

यदि अनुक्रम का निम्नक \(n \to \infty \) के रूप में अनुक्रम की सीमा के बराबर है, तो इसका अर्थ है कि

अनुक्रम इस मान पर स्थिर हो जाता है, यह सुझाव देता है कि यह उस बिंदु पर अभिसरित हो रहा है।

यह एक सत्य कथन है, क्योंकि अनुक्रम अपने निम्नक पर अभिसरित हो रहा है, जिसका अर्थ है कि इसकी एक सीमा है।

विकल्प 3:

प्रति उदाहरण:

अनुक्रम \(a_n = \frac{1}{n}\) पर विचार करें।

1. चूँकि \(n \to \infty\) है, \(\lim_{n \to \infty} a_n = 0\).

2. अनुक्रम का उच्चक \(\sup\{a_n | n \geq 1\} = a_1 = 1\) है

यह अनुक्रम स्पष्ट रूप से अचर नहीं है क्योंकि an an के मान n n बढ़ने पर घटते हैं। हालाँकि, हमारे पास अभी भी है:

\(\sup\{a_n | n \geq 1\} = \lim_{n \to \infty} a_n = 0.\)

यह दर्शाता है कि \({a_n}\) अचर नहीं है।

विकल्प 4:

किसी अनुक्रम का उच्चक अनुक्रम में मानों की निम्नतम उपरि सीमा होती है।

यह सबसे छोटी संख्या है जो अनुक्रम में प्रत्येक पद से बड़ी या उसके बराबर होती है।

किसी अनुक्रम का निम्नक अनुक्रम में मानों की महत्तम निम्न परिबंध होती है।

यह सबसे बड़ी संख्या है जो अनुक्रम में प्रत्येक पद से छोटी या उसके बराबर होती है।

अब, यदि \(\sup\{a_n \mid n \geq 1\} = \inf\{a_n \mid n \geq 1\}\), इसका अर्थ है कि न्यूनतम उपरि सीमा और

महत्तम निम्न परिबंध समान हैं। आइए इस सामान्य मान को C कहते हैं।

चूँकि, उच्चक C अनुक्रम की एक उपरि सीमा है, इसलिए अनुक्रम के सभी पद C से कम या उसके बराबर होने चाहिए।
चूँकि, निम्नक C अनुक्रम की एक निम्नतम सीमा है, इसलिए अनुक्रम के सभी पद C से अधिक या उसके बराबर होने चाहिए।

इसलिए, सभी n के लिए, पद \(a_n\) को \(C \leq a_n \leq C\) को संतुष्ट करना चाहिए, जिसका अर्थ सभी n के लिए है कि \(a_n\) = C है।

इसलिए, आवश्यक विकल्प 3) है।

$$\boxed{\text{विकल्प 3}}.$$