यदि दो सदिश \(\vec{A}=6\hat{i}-8\hat{j}+4\hat{k}\) और \(\vec{B}=4\hat{i}-6\hat{j}+p\hat{k}\) पारस्परिक रूप से लंबवत हैं तो p का मान क्या है?

अवधारणा:

सदिश का अदिश गुणनफल:

• अदिश गुणनफल संख्याओं के दो अनुक्रमों के संबंधित प्रविष्टियों के गुणनफल का योग है।
• ज्यामितीय रूप से, यह दो सदिश के यूक्लिडियन परिमाण और उनके बीच कोण के cosine का गुणनफल है।

\({{\rm{A}}_1}\cdot{{\rm{A}}_2} = \left| {\overrightarrow {{{\rm{A}}_1}} } \right|\left| {\overrightarrow {{{\rm{A}}_2}} } \right|\cos {\rm{θ }}\)

जहां \(\left| {\overrightarrow {{{\rm{A}}_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{{\rm{A}}_2}} } \right|\) दो सदिश A1 और A2 का परिमाण है। 

गणना:

दिया गया है:

\(\vec{A}=6\hat{i}-8\hat{j}+4\hat{k}\), \(\vec{B}=4\hat{i}-6\hat{j}+p\hat{k}\) और θ - 90° 

• यहां दो सदिश लंबवत हैं, इसलिए अदिश गुणनफल शून्य के बराबर है अर्थात

\(⇒ \left| {\overrightarrow {{{\rm{A}}_1}} } \right|\left| {\overrightarrow {{{\rm{A}}_2}} } \right|\cos {\rm{90^\circ =0}}\)

• सदिश का अदिश गुणनफल है-

\(⇒ (6\hat{i}-8\hat{j}+4\hat{k})\cdot(4\hat{i}-6\hat{j}+p\hat{k})=0\)

\(⇒ 24+48+4p = 0\)

⇒ p = -18

समानांतर सदिश:

• “दो सदिश \(\vec A\) और \(\vec B\) समानांतर है यदि और केवल अगर वे एक दूसरे के अदिश गुणक हैं ।

अथवा

• यदि दो सदिश के बीच कोण 0° और 180° है, तो इन दोनों सदिश को समानांतर कहा जाता है।