संख्या 1234567 के अंकों के ऐसे कितने क्रम हैं जिनमें से ठीक तीन अपने मूल स्थान पर हों? (उदाहरण के लिए, क्रम 5214763 में, ठीक अंक 2, 4 और 6 अपने मूल स्थान पर हैं। क्रम 1243576 में, सटीक अंक 1, 2 और 5 अपने मूल स्थान पर हैं।) है:

संप्रत्यय:

 \(n\) वस्तुओं की अव्यवस्थाओं की संख्या \( D_n\) का सूत्र हैं

\(D_n = n! \left( \frac{1}{0!} - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \cdots + \frac{(-1)^n}{n!} \right)\)

व्याख्या:

यह प्रतिबंधों के साथ अव्यवस्थाओं को खोजने की समस्या है। हमें उन तरीकों की संख्या ज्ञात करने की आवश्यकता है जिनमें ठीक तीन अंक अपने मूल स्थान पर हैं, जबकि अन्य चार अंक अपने मूल स्थान पर नहीं हैं।

अपने मूल स्थान पर रहने के लिए 3 अंक चुनें:

हमें अपने मूल स्थान पर रहने के लिए 7 में से 3 अंकों का चयन करने की आवश्यकता है।

7 में से 3 अंकों को चुनने के तरीकों की संख्या \(\binom{7}{3} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35\) है

शेष 4 अंकों को व्यवस्थित करें

शेष 4 अंकों को अपने मूल स्थान पर नहीं रहना चाहिए। इन 4 अंकों को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या इस तरह से कि उनमें से कोई भी अपने मूल स्थान पर न हो, को 4 वस्तुओं के अव्यवस्था कहा जाता है, जिसे \(D_4\) द्वारा दर्शाया गया है।

 \(n\) वस्तुओं की अव्यवस्थाओं की संख्या \( D_n\) का सूत्र, \(D_n = n! \left( \frac{1}{0!} - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \cdots + \frac{(-1)^n}{n!} \right)\)

n = 4 के लिए, हम \(D_4\) की गणना कर सकते हैं

\(D_4 = 4! \left( \frac{1}{0!} - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} \right)\)

⇒ \(D_4 = 24 \left( 1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} \right)\)

⇒ \(D_4 = 24 \left( \frac{12}{24} - \frac{4}{24} + \frac{1}{24} \right) = 24 \times \frac{9}{24} = 9\)

इसलिए, हमारे पास 3 अंकों को चुनने के 35 तरीके हैं जो अपने मूल स्थान पर रहते हैं, और प्रत्येक ऐसे विकल्प के लिए, शेष 4 अंकों के 9 व्यवधान हैं। इसलिए, ऐसी व्यवस्थाओं की कुल संख्या है

\(35 \times 9\) = 315

सही विकल्प 4) है।