त्रिज्या 30 cm वाला एक पृथक संवाही वृत्ताकार गोला दिया गया है। कुछ धनात्मक आवेश इसमें दिया गया है जिससे परिणामी विद्युत क्षेत्र में अधिकतम तीव्रता 1.8 × 106 NC-1 है। ऋणात्मक आवेश की समान मात्रा त्रिज्या 60 cm वाले दूसरे पृथक संवाही वृत्ताकार गोले में दी गयी है। अब, पहले गोले को दूसरे गोले के अंदर इस प्रकार रखा जाता है जिससे दोनों संकेंद्रित होते हैं जैसा नीचे दी गयी आकृति में दर्शाया गया है। तो प्रणाली में संग्रहित विद्युत्स्थैतिक ऊर्जा ज्ञात कीजिए।

दिया गया है:

छोटे गोले की त्रिज्या (R₁)= 30 cm

छोटे गोले के कारण अधिकतम विद्युत क्षेत्र तीव्रता (E_max) = 1.8 × 106 NC^-1

बड़े गोले की त्रिज्या (R₂) = 60 cm

संकल्पना:

एक वृत्ताकार संवाही गोले के लिए विद्युत क्षेत्र की तीव्रता सतह पर अधिकतम है।

जब दो संवाही वृत्ताकार गोले में बराबर और विपरीत आवेश दिए जाते हैं, तो वे वृत्ताकार धारिता प्रणाली के रूप में कार्य करते हैं।

सूत्र:

E(गोले की सतह पर) =  जहाँ R गोले की त्रिज्या है।

दो वृत्ताकार गोले की धारिता = 

संधारित्र की ऊर्जा = Q²/2C

गणना:

छोटे गोले के लिए E(max) = 

⇒ 1.8 × 106 NC-1 = 9 × 10⁹ × q/(0.3)²

⇒ q = 1.8 × 10^-5 C

अब, प्रणाली की धारिता = C = 

⇒ C = (0.3 × 0.6)/(9 × 109 × 0.3)

⇒ C = 2/3 × 10^-10 F

∴ प्रणाली की ऊर्जा = U =  Q2/2C

⇒ U = (1.8 × 10-5)²/(2 × 2/3 × 10-10)

⇒ U = 2.43 J

Alternate Method Shelf energy of the conduction spherical shell:

• The energy required to charge a conducting spherical shell or energy required to construct a charged conducting spherical shell is called the self-energy of the spherical shell.
• This energy can not be taken from the spherical shell.
• The shelf energy of the conducting shell,

When the first shell is placed inside the second so that both are concentric as given in the figure, then the electrostatic energy stored in the system

U = U1 + U2 + Uin

Here, U1 is the shelf energy of shell 1 of radius 30 cm, U2 is the shelf energy of shell 2 of radius 60 cm and Uin is the interaction energy of both the spherical shells

Calculation:

Given: The radius of the smaller shell (R1)= 30 cm

Maximum electric field intensity due to the smaller shell (Emax) = 1.8 × 106 NC-1

Radius of larger shell (R2) = 60 cm

• Let the charge on the spherical shell of radius 30 cm be q (This charge will be distributed to the outer surface of the spherical shell)
• For the smaller shell,

E(max) =  

⇒ 1.8 × 106 NC-1 = 9 × 109 × q/(0.3)2

⇒ q = 1.8 × 10-5 C

So,  

⇒ U1 = 4.86 J

• The same amount of negative charge is given to another isolated conducting spherical shell of a radius of 60 cm then the self-energy of the outer shell,

• Now, the interaction energy of the system,

• Now the energy of the interaction of two shells,

So, U = U1 + U2 + Uin

⇒ U = 4.86 + 2.43 - 4.86

⇒ U = 2.43 J