961¹²⁵ को 37 से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल ज्ञात कीजिए।

दिया गया है:

व्यंजक: \(961^{125}\) को 37 से विभाजित किया गया है।

प्रयुक्त सूत्र:

मॉड्यूलर अंकगणित गुण: यदि \(a \equiv b \pmod{m}\), तब \(a^n \equiv b^n \pmod{m}\).

इसके अलावा, एक ऋणात्मक शेषफल \(-k \pmod{m}\) \((m - k) \pmod{m}\) के समतुल्य है।

गणनाएँ:

961 को 37 से विभाजित करते हैं:

961 = 37 × 25 + 36

इसलिए, 961 को 37 से विभाजित करने पर शेषफल 36 बचता है।

इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: \(961 \equiv 36 \pmod{37}\)

चूँकि 36, 37 से एक कम है, हम लिख सकते हैं:

\(36 \equiv -1 \pmod{37}\)

\(961^{125} \equiv (-1)^{125} \pmod{37}\)

चूँकि 125 एक विषम संख्या है, \((-1)^{125} = -1\).

इसलिए, \(961^{125} \equiv -1 \pmod{37}\)

एक धनात्मक शेषफल प्राप्त करने के लिए, मॉड्यूलस (37) को ऋणात्मक शेषफल में जोड़ें:

\(-1 \equiv -1 + 37 \pmod{37}\)

\(-1 \equiv 36 \pmod{37}\)

इसलिए, जब \(961^{125}\) को 37 से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल 36 प्राप्त होता है।