समतल 2x + 4y - z = 2 से बिंदु (7, 14, 5) की दूरी ज्ञात कीजिए।

संकल्पना:

किसी समतल से एक बिंदु की लंबवत दूरी

माना कि हम कार्तीय समीकरण Ax + By + Cz = d द्वारा दिए गए एक समतल और उस बिंदु को लेते हैं, जिसका निर्देशांक (x1, y1, z1) है। 

अब, बिंदु और समतल के बीच की दूरी = \(\left| {\frac{{A{x_1}\; + \;B{y_1}\; + \;C{z_1} - \;d}}{{\sqrt {{A^2}\; + \;\;{B^2}\; + \;{C^2}} }}} \right|\)

गणना:

हमें समतल 2x + 4y - z = 2 से बिंदु (7, 14, 5) की दूरी ज्ञात करनी होगी

यहां, समतल के समीकरण को 2x + 4y - z - 2 = 0 के रूप में फिर से लिखा जा सकता है

जैसा कि हम जानते हैं कि, बिंदु और समतल के बीच की दूरी को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:\(\left| {\frac{{A{x_1}\; + \;B{y_1}\; + \;C{z_1} - \;d}}{{\sqrt {{A^2}\; + \;\;{B^2}\; + \;{C^2}} }}} \right|\)

यहाँ, x1 = 7, y1 = 14 और z1 = 5

तो, दिए गए समतल से दिए गए बिंदु की दूरी \(= \left| {\frac{{2\; \times \;7\; + \ {4}\ \times \;14\; - \;5\; - \;2}}{{\sqrt {{2^2}\; + \;\;{{\left( { - 1} \right)}^2}\; + \;{{\left( 4\right)}^2}} }}} \right|\)

\(= \;\left| {\frac{63}{{\sqrt {21} }}} \right|\)

तो, समतल और बिंदु के बीच की दूरी \(3\sqrt {21}\) है

इसलिए, विकल्प D सही उत्तर है।