सारणिक के संदर्भ में निम्नलिखित कथनों पर विचार कीजिए:

\( \Delta = \begin{vmatrix} k(k+2) & 2k+1 & 1 \\ 2k+1 & k+2 & 1 \\ 3 & 3 & 1 \end{vmatrix} \)

I. Δ धनात्मक है, यदि $k>0\; है।$

II. Δ ऋणात्मक है, यदि $k<0\; है।$

III. Δ शून्य है, यदि $k=0\; है।$

उपर्युक्त कथनों में से कितना/कितने सही है/हैं?

गणना:

दिया गया है,

Δ = \( \begin{vmatrix} k(k+2) & 2k+1 & 1\\ 2k+1 & k+2 & 1\\ 3 & 3 & 1 \end{vmatrix} \)

स्तंभ संक्रिया \(C_1 \rightarrow C_1 - C_2\) द्वारा सारणिक को सरल करने पर:

\( \Delta = \begin{vmatrix} k^{2}-1 & 2k+1 & 1\\ k-1 & k+2 & 1\\ 0 & 3 & 1 \end{vmatrix} \)

तीसरी पंक्ति के अनुदिश प्रसारित करने पर,

\( \Delta = -3 \begin{vmatrix} k^{2}-1 & 1\\ k-1 & 1 \end{vmatrix} \;+\; \begin{vmatrix} k^{2}-1 & 2k+1\\ k-1 & k+2 \end{vmatrix} = (k-1)^{3}. \)

इस प्रकार \( \Delta = (k-1)^{3}\) है। 

चिह्न विश्लेषण

• \(k>0\): यदि \(0<k<1\), Δ < 0; यदि \(k>1\), Δ > 0 ⇒ कथन I असत्य है।
• \(k<0\): \(\Delta<0\) ⇒ कथन II सत्य है।
• \(k=0\): \(\Delta=(-1)^{3}=-1\neq0\) ⇒ कथन III असत्य है।

∴ केवल कथन II सही है ⇒ ठीक एक कथन सत्य है।

अतः सही उत्तर विकल्प 2 है।