द्रव्यमान m का कण इकाई लंबाई के एक-विमीय बॉक्स में परिबद्ध है। इस कण का तरंग फलन 0 ≤ x ≤ 1 के लिए ψ(x) = sin πx (1 + cos πx) तथा इस अंतराल के बाहर शून्य हैं। इस अवस्था में ऊर्जा प्रत्याशा मान है:

संप्रत्यय:

1. ऊर्जा संकारक:

एक बॉक्स में कण के लिए एक आयाम में ऊर्जा (या हैमिल्टनी) संकारक इस प्रकार दिया गया है:

2. ऊर्जा का प्रत्याशा मान:

ऊर्जा का प्रत्याशा मान ⟨ E ⟩ इस प्रकार दिया गया है:

⟨ E ⟩ =

गणना -

1. तरंग फलन:

2. द्वितीय अवकलज:

सरल करने पर:

3. ψ(x) पर हैमिल्टनी का कार्य:

4. प्रत्याशा मान समाकल:

⟨ E ⟩ =

दिया गया प्रसामान्यीकृत तरंग फलन ψ(x) अनंत विभव कूप के आइगेन फलन का एक रैखिक संयोजन है।

एक अनंत विभव कूप के लिए, आइगेन फलन हैं

ऊर्जा आइगेन मानों के साथ

दिए गए तरंग फलन की तुलना करने पर:



यह पहली और दूसरी आइगेन अवस्था के अध्यारोपण के समतुल्य है।

गुणांक और प्रसामान्यीकरण यह सुनिश्चित करते हैं कि यह तरंग फलन एक उचित आइगेन अवस्था मिश्रण है।

ऊर्जा गणना:

सममिति और आइगेन फलन की लांबिकता द्वारा, ऊर्जा का प्रत्याशा मान ⟨ E ⟩ आइगेन मानों का भारित योग है:

⟨ E ⟩ =

दिया गया है:

भार a₁, a₂ प्रसामान्यीकरण से ज्ञात किए जाते हैं। ज्ञात समाकलों का उपयोग करके सरलीकरण करने पर, हमें सही भारित योग प्राप्त होता है।

अंत में, इस विशेष समस्या के लिए परिणाम (हल करके) प्रत्याशा मान  है। 

इसलिए, सही उत्तर (2) है।