Work and Kinetic Energy MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Work and Kinetic Energy - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

लंबाई l वृत्त की परिधि के आधे के बराबर है: l = πR। इस प्रकार, गेंदों A और B की संतुलन स्थितियाँ क्रमशः P और Q पर हैं।

मान लीजिए कि θ प्रत्येक गेंद का अपनी संतुलन स्थिति से कोणीय विस्थापन है। इस स्थिति में, एक स्प्रिंग Rθ लंबाई से संपीड़ित होती है और दूसरी समान लंबाई से विस्तारित होती है। इसलिए दो स्प्रिंगों द्वारा गेंद B पर प्रत्यावर्तन बल है:

F = k(2Rθ) + k(2Rθ) = 4kRθ

गेंद B का स्पर्शीय त्वरण at है:

at = R × d²θ/dt²

न्यूटन के दूसरे नियम को लागू करने पर:

mR × d²θ/dt² = -4kRθ

⇒ d²θ/dt² = -(4k/m)θ

यह कोणीय आवृत्ति ω² = 4k/m के साथ सरल आवर्त गति (SHM) का समीकरण है।

आवृत्ति, ν = (1 / 2π) × √(4k / m) = (1 / 2π) × √(0.4 / 0.1) = 1 / π Hz

प्रारंभिक स्थिति (θ = π/6) पर, दोनों स्प्रिंग Rθ से फैली/संकुचित होती हैं। प्रत्येक स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा:

U1,i = U2,i = (1/2) × k × (2Rθ)² = 2kR²θ²

निकाय की कुल प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा:

Ui = 4kR²θ²

प्रारंभिक गतिज ऊर्जा = 0

अंतिम स्थिति: प्रत्येक स्प्रिंग शिथिल है, इसलिए Uf = 0

अंतिम स्थिति पर कुल गतिज ऊर्जा:

Kf = m × v² (चूँकि दोनों गेंदें समान गति से गति करती हैं)

ऊर्जा संरक्षण का उपयोग करने पर:

Ui + Ki = Uf + Kf

4kR²θ² = m × v²

v के लिए हल करने पर:

v = 2Rθ × √(k / m) = 2 × 0.06 × (π / 6) × √(0.1 / 0.1) = 0.0628 m/s

निकाय की कुल ऊर्जा:

E = Ui = Kf = 4kR²θ²

E = 4 × 0.1 × (0.06)² × (π / 6)² = 3.9 × 10⁻⁴ J

इस प्रकार n / α = 4/ 3.9 ≈ 1

सही उत्तर विकल्प 3) अर्थात 6400 J है

अवधारणा:

• कार्य-ऊर्जा प्रमेय: कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार कि किसी वस्तु पर बलों द्वारा किया गया शुद्ध कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।

कार्य, 

जहाँ m वस्तु का द्रव्यमान है, v वस्तु का अंतिम वेग है और u वस्तु का प्रारंभिक वेग है।

गणना:

दिया गया है:

द्रव्यमान, m = 10 g = 0.01 kg

प्रारंभिक वेग, u = 1200 m/s

अंतिम वेग, v = 400 m/s

ऊर्जा की हानि = किया गया कार्य

⇒ W = 6400 J

सही उत्तर विकल्प 3) अर्थात 6400 J है

अवधारणा:

• कार्य-ऊर्जा प्रमेय: कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार कि किसी वस्तु पर बलों द्वारा किया गया शुद्ध कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।

कार्य, 

जहाँ m वस्तु का द्रव्यमान है, v वस्तु का अंतिम वेग है और u वस्तु का प्रारंभिक वेग है।

गणना:

दिया गया है:

द्रव्यमान, m = 10 g = 0.01 kg

प्रारंभिक वेग, u = 1200 m/s

अंतिम वेग, v = 400 m/s

ऊर्जा की हानि = किया गया कार्य

⇒ W = 6400 J

अवधारणा:

एक लुढ़कती वस्तु की गतिज ऊर्जा:

• कुल गतिज ऊर्जा: एक लुढ़कती हुई वस्तु, जैसे कि एक ठोस डिस्क, के लिए कुल गतिज ऊर्जा स्थानांतरीय और घूर्णी गतिज ऊर्जाओं का योग होती है।
• स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा (K₁): यह द्रव्यमान केंद्र की रैखिक गति के कारण होती है। स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा का सूत्र है, जहाँ:
  • M : वस्तु का द्रव्यमान (SI इकाई: किलोग्राम)
  • v : द्रव्यमान केंद्र का वेग (SI इकाई: m/s)
• घूर्णी गतिज ऊर्जा (K₂): यह वस्तु के अपने अक्ष पर घूमने के कारण होती है।
• सूत्र  है, जहाँ:
  • I: वस्तु का जड़त्व आघूर्ण (ठोस डिस्क के लिए, )
  • ω: वस्तु का कोणीय वेग, रैखिक वेग से द्वारा संबंधित
• कार्य-ऊर्जा प्रमेय: किसी वस्तु को रोकने के लिए किया गया कार्य उसकी कुल गतिज ऊर्जा के बराबर होता है। इस प्रकार, लुढ़कती हुई डिस्क को रोकने के लिए आवश्यक कार्य उसकी स्थानांतरीय और घूर्णी गतिज ऊर्जाओं का योग होता है।

गणना:

दिया गया है,

डिस्क का द्रव्यमान, M = 50 kg

द्रव्यमान केंद्र का वेग, v = 0.4 m/s

⇒ K₁ =

⇒ K₁ = 4 J

ठोस डिस्क का जड़त्व आघूर्ण, I = तथा ω =

⇒ K₂ =

⇒ K₂ = 2 J

⇒ K _कुल = K₁ + K₂ = 4 + 2 = 6 J

∴ डिस्क को रोकने के लिए किए गए कार्य का निरपेक्ष मान 6 J है।

अवधारणा:

गतिज ऊर्जा

• गति के कारण किसी वस्तु की कार्य करने की क्षमता को गतिज ऊर्जा कहते हैं।
• K.E. = 1/2mv2 (जहाँ m = वस्तु का द्रव्यमान और v = वेग)

व्याख्या:

माना भारी पिंड का द्रव्यमान और वेग m₁ तथा v₁ है।

और एक हल्के पिंड का द्रव्यमान और वेग m₂ और v₂ है।

चूंकि भारी और हल्के पिंडों की K.E. बराबर होती है।

अत: इसलिए, = ½m₁v₁² = ½m₂v₂²

= m₁/m₂= (v₂/v₁)²

इसलिए, m₁ > m₂

m₁/m₂ >1 

अत:, इसलिए v₂²/v₁²>1

v22>v12

v₂>v₁

इसलिए परिणाम से पता चलता है कि हल्के पिंड का वेग v₂ भारी पिंड v1 से अधिक है।

इसलिए, विकल्प 3 सही है।

Additional Information

स्थितिज ऊर्जा

• किसी वस्तु की स्थिति के कारण किसी वस्तु की कार्य करने की क्षमता को स्थितिज ऊर्जा कहते हैं।
• PE = mgh (जहाँ m = किसी वस्तु का द्रव्यमान, g = गुरुत्वीय त्वरण और h = ऊँचाई)
• बांध के निर्माण से एकत्रित जल में स्थितिज ऊर्जा होती है।

गतिज ऊर्जा और संवेग के बीच संबंध

K.E = P2/2m
जहाँ, P = संवेग (P = mv)

Important Pointsसंवेग

• किसी वस्तु के वेग और द्रव्यमान के गुणनफल को संवेग कहते हैं।
• संवेग का SI मात्रक kg-m/s है।
• आयाम = MLT-1

अवधारणा:

गतिज ऊर्जा

• गति के कारण किसी वस्तु की कार्य करने की क्षमता को गतिज ऊर्जा कहते हैं।
• K.E. = 1/2mv2 (जहाँ m = वस्तु का द्रव्यमान और v = वेग)

व्याख्या:

माना भारी पिंड का द्रव्यमान और वेग m₁ तथा v₁ है।

और एक हल्के पिंड का द्रव्यमान और वेग m₂ और v₂ है।

चूंकि भारी और हल्के पिंडों की K.E. बराबर होती है।

अत: इसलिए, = ½m₁v₁² = ½m₂v₂²

= m₁/m₂= (v₂/v₁)²

इसलिए, m₁ > m₂

m₁/m₂ >1 

अत:, इसलिए v₂²/v₁²>1

v22>v12

v₂>v₁

इसलिए परिणाम से पता चलता है कि हल्के पिंड का वेग v₂ भारी पिंड v1 से अधिक है।

इसलिए, विकल्प 3 सही है।

Additional Information

स्थितिज ऊर्जा

• किसी वस्तु की स्थिति के कारण किसी वस्तु की कार्य करने की क्षमता को स्थितिज ऊर्जा कहते हैं।
• PE = mgh (जहाँ m = किसी वस्तु का द्रव्यमान, g = गुरुत्वीय त्वरण और h = ऊँचाई)
• बांध के निर्माण से एकत्रित जल में स्थितिज ऊर्जा होती है।

गतिज ऊर्जा और संवेग के बीच संबंध

K.E = P2/2m
जहाँ, P = संवेग (P = mv)

Important Pointsसंवेग

• किसी वस्तु के वेग और द्रव्यमान के गुणनफल को संवेग कहते हैं।
• संवेग का SI मात्रक kg-m/s है।
• आयाम = MLT-1

सही उत्तर विकल्प 2) अर्थात दो गुना अधिक है

अवधारणा

• गतिज ऊर्जा एक गतिमान निकाय में निहित ऊर्जा है। गतिज ऊर्जा इस प्रकार होगी-

​

जहां m निकाय का द्रव्यमान है और v निकाय का वेग है।

व्याख्या:

• ट्रक को रोकने के लिए आवश्यक काम की मात्रा उस क्षण ट्रक के पास गतिज ऊर्जा के बराबर होगी।
• काम और ऊर्जा की इकाई समान है अर्थात जूल और इनको बराबर रखा जा सकता है।

मान लीजिये m कार का द्रव्यमान हो और v इसका वेग है।

कार की गतिज उर्जा = 

मान लीजिये m' और v' क्रमशः ट्रक का द्रव्यमान और वेग है।

दिया गया है: m' = 8m और

ट्रक की गतिज उर्जा=  = 2 × कार की गतिज उर्जा

इसलिए ट्रक को रोकने के लिए जरूरी कार्य की मात्रा दो गुना ज्यादा है।

संवेग: गतिमान निकाय का वह गुण जो निकाय के द्रव्यमान और वेग के गुणनफल के बराबर होता है, संवेग कहलाता है।

P = mv

जहाँ P निकाय का संवेग है, m निकाय का द्रव्यमान है, और v निकाय का वेग है।

गतिज ऊर्जा: किसी निकाय में उसकी गति के कारण जो ऊर्जा होती है, उसे गतिज ऊर्जा के रूप में जाना जाता है।

गतिज ऊर्जा को संवेग के रूप में दिया जाता है:

जहां K निकाय की गतिज ऊर्जा है, P निकाय का संवेग है और m निकाय का द्रव्यमान है।

व्याख्या:

यह देखते हुए कि दोनों द्रव्यमानों का संवेग समान है।

PA = PB

∴ mAVA = mBVB

∴ _______(1)

अत: m_A, m_B से बड़ा है इसलिए अनुपात 1 से अधिक होगा।

अब A और B की गतिज ऊर्जा का अनुपात लेते हुए।

∴ = = [∵ समीकरण (1) से]

∴ जैसा कि हम जानते हैं का मान समीकरण 1 से 1 कम है, इसलिए A की गतिज ऊर्जा B की गतिज ऊर्जा से कम होनी चाहिए। इसलिए, B का गतिज मान अधिक है।

अवधारणा:

• कार्य-ऊर्जा प्रमेय: इसके अनुसार एक पिंड पर कार्यरत बल द्वारा किया गया कार्य पिंड की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर है अर्थात

W = K_f - K_i

जहाँ v = अंतिम वेग, u = प्रारंभिक वेग और m = पिंड का द्रव्यमान

दिया गया है:

 m = 8 kg, F = 16 N, u = 0 m/s और t = 10 s

न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,

गतिकी के समीकरण के अनुसार

v = u + at

⇒ v = 0 + 2 × 10 = 20 m/s

खंड द्वारा अधिग्रहित गतिज ऊर्जा है,

अतः विकल्प 2 सही है।

सही उत्तर विकल्प 3) अर्थात 6400 J है

अवधारणा:

• कार्य-ऊर्जा प्रमेय: कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार कि किसी वस्तु पर बलों द्वारा किया गया शुद्ध कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।

कार्य, 

जहाँ m वस्तु का द्रव्यमान है, v वस्तु का अंतिम वेग है और u वस्तु का प्रारंभिक वेग है।

गणना:

दिया गया है:

द्रव्यमान, m = 10 g = 0.01 kg

प्रारंभिक वेग, u = 1200 m/s

अंतिम वेग, v = 400 m/s

ऊर्जा की हानि = किया गया कार्य

⇒ W = 6400 J

संकल्पना:

गतिज ऊर्जा को उस ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया जाता है जो किसी वस्तु द्वारा उसकी गति के कारण उत्पन्न होती है।

• गतिमान पिंड की गतिज ऊर्जा,
• जहाँ, m = पिंड का द्रव्यमान, v = पिंड का वेग
• F = ma
• जहाँ, m = द्रव्यमान, a = त्वरण,

स्पष्टीकरण:

दिया गया है, K = 4t² 

तब 

= v2 ∝  t2

= v ∝ t

दोनों पक्षों को अवकलित करने पर, 

⇒ m.v.a = 8t 

⇒ F.v = 8t

⇒ v ∝  t

⇒ F ∝ constant

अतः कणों पर लगने वाला बल समय के साथ constant  है।

संकल्पना:

• किया गया कार्य: किसी वस्तु पर लागू किया बल और बल की दिशा में वस्तु द्वारा किए गए विस्थापन के गुणनफल को किए गए कार्य के रूप में जाना जाता है।
• किए गए कार्य का इकाई जूल होती है जो कि ऊर्जा की भी इकाई है।
• गतिज ऊर्जा: किसी वस्तु की उसकी गति के कारण प्राप्त की जाने वाली ऊर्जा को गतिज ऊर्जा कहा जाता है।

द्रव्यमान m और वेग v के साथ किसी वस्तु की गतिज ऊर्जा निम्न द्वारा दी जाती है:

• कार्य-ऊर्जा प्रमेयः किसी वस्तु पर किया गया कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है। इस प्रमेय को कार्य-ऊर्जा प्रमेय का नाम दिया गया है।

W.D = (अंतिम गतिज ऊर्जा) - (प्रारंभिक गतिज ऊर्जा)

u = प्रारंभिक वेग, v = अंतिम वेग, m = वस्तु का द्रव्यमान

गणना:

दिया गया है प्रारंभिक वेग u =  20ms^-1

अंतिम वेग v = 10 ms^-1

वस्तु का द्रव्यमान m = 0.5 kg

कार्य-ऊर्जा प्रमेय द्वाराः

किया गया कार्य = 

⇒W. D = - 300J/4

⇒W. D = - 75J 

तो, किए गए कार्य का परिमाण 75 जूल होगा।

इसलिए विकल्प 1 सही है।

Additional Information

• किए गए कार्य की अभिव्यक्ति W = F.S Cosθ के रूप में दी गई है। 

θ लागू बल और किए गए विस्थापन के बीच का कोण है।

• यदि बल और विस्थापन दोनों समान दिशा में हो। 
• इस मामले में, तो θ = 0°, Cos0° और किया गया कार्य = FS अर्थात्, केवल द्रव्यमान और विस्थापन का गुणनफल। 
• यदि किए गए कार्य की दिशा और विस्थापन विपरीत हैं तो किया गया कार्य ऋृणात्मक होगा।

अवधारणा:

गतिज ऊर्जा:

• वह ऊर्जा जो किसी निकाय या कण की गति के कारण होती है।
• यह गतिमान निकाय या कण का गुणधर्म है और यह न केवल उसकी गति पर बल्कि उसके द्रव्यमान पर भी निर्भर करता है।
• उदाहरण के लिए, गतिमान कार, बंदूक से गोली, उड़ता हुआ हवाई जहाज।

द्रव्यमान M के निकाय की गतिज ऊर्जा इस प्रकार है-

स्थितिज उर्जा

• वह ऊर्जा जो किसी निकाय की अन्य निकायों के सापेक्ष स्थिति के कारण होती है।
• यह विराम में निकाय का गुणधर्म है और इसमें दूसरे रूप में परिवर्तित होने की क्षमता भी है।
• उदाहरण के लिए, एक उठाया हुआ वजन, पानी जो बांध के पीछे है और स्प्रिंग में संग्रहीत उर्जा।

स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा इस प्रकार है-

जहाँ

K = N/m में स्प्रिंग नियतांक

x = विस्थापन संतुलन स्थिति

गणना:

दिया गया है:

निकाय का द्रव्यमान m = 2 kg

निकाय का वेग V = 10 m/s

स्प्रिंग बल नियतांक K = 3200 N/m

जब निकाय स्प्रिंग के माध्यम से टकराता है, तो उसकी गतिज ऊर्जा स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाएगी। इसलिये निकाय की गतिज उर्जा में नुकसान = स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा में लाभ।

⇒ 

⇒ x = 0.25 m

इसलिए, स्प्रिंग में संपीड़न का उत्पादन 25 cm है।

अवधारणा:

घर्षण

• सतहों द्वारा पेश किया प्रतिरोध जो एक दूसरे के संपर्क में होते हैं जब वे एक दूसरे के ऊपर गति करते हैं, तो घर्षण कहा जाता है।
• घर्षण को प्रभावित करने वाले कारक:
  1. संपर्क में सतहों के प्रकार।
  2. दोनों सतहों के बीच लम्बवत बल।

​     

जहाँ F =घर्षण बल, μ =घर्षण का गुणांक और N = लम्बवत प्रतिक्रिया और m = निकाय का द्रव्यमान

कार्य-ऊर्जा प्रमेय:

• कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार किसी निकाय पर बलों द्वारा किया गया शुद्ध कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर है ।

​⇒ W = ΔKE   

जहाँ W = कार्य और  ΔKE = गतिज ऊर्जा में परिवर्तन

• गतिज ऊर्जा: अपनी गति के आधार पर एक कण में निहित ऊर्जा को गतिज ऊर्जा कहा जाता है । यह इस प्रकार है-

​   

जहाँ m = द्रव्यमान और v = वेग

गणना:

दिया गया है:

v = 20 m/s और μ = 0.4

आरम्भिक गतिज उर्जा

अंतिम गतिज उर्जा , (अंतिम वेग = 0 m/s)

गतिज उर्जा में परिवर्तन

घर्षण बल द्वारा किया गया कार्य-

जहाँ , s = विस्थापन

समीकरण F = μR को समीकरण में रखने पर

इसलिए

हम जानते है कि W = ΔKE तो,  

• इसलिए, विकल्प 1 सही है।

सही उत्तर विकल्प 1) है यानी अंतिम गतिज ऊर्जा कार्य की मात्रा से बढ़ जाती है

अवधारणा :

• कार्य ऊर्जा प्रमेय: यह बताता है कि किसी वस्तु पर बलों द्वारा किया गया शुद्ध कार्य इसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।

किया गया कार्य, 

जहाँ m वस्तु का द्रव्यमान है, v, वस्तु का अंतिम वेग है और u, वस्तु का प्रारंभिक वेग है।

व्याख्या:

हम जानते हैं कि,

• इसलिए, यदि किया गया कार्य धनात्मक है तो कार्य की मात्रा से अंतिम गतिज ऊर्जा बढ़ जाती है।