Standard Second Order System MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Standard Second Order System - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

सही उत्तर है अनडैम्प्ड
अवधारणा:

मानक द्वितीय-क्रम प्रणाली के स्थानांतरण फ़ंक्शन की सामान्य अभिव्यक्ति है:

\(TF = \frac{{C\left( s \right)}}{{R\left( s \right)}} = \frac{{\omega _n^2}}{{{s^2} + 2\zeta {\omega _n}s + \omega _n^2}}\)

कहाँ,

ζ अवमंदन अनुपात है

ω n अवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति है

विशेषता समीकरण:

\({s^2} + 2\zeta {\omega _n} + \omega _n^2 = 0\)

अभिलक्षणिक समीकरण की जड़ें हैं:

\(- \zeta {\omega _n} + j{\omega _n}\sqrt {1 - {\zeta ^2}} = - \alpha \pm j{\omega _d}\)

α अवमंदन कारक है

प्रणाली की प्रकृति को इसके ' ζ ' मान द्वारा वर्णित किया जाता है

गणना:
दिया गया:
विशेषता समीकरण s 2 + 2 = 0 है
\({s^2} + 2\zeta {\omega _n} + \omega _n^2 = 0\)
इसकी तुलना सी.ई. से करें।
चूँकि , 2ζ ωएन = 0,
ζ=०
अतः प्रणाली की प्रकृति अवमंदित है।

अवमंदन अनुपात के मान के आधार पर ध्रुवों की स्थिति 

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।

सही उत्तर विकल्प 4):(ζ > 1) है।

अवधारणा:

मानक द्वितीय-कोटि तंत्र का अंतरण फलन है:

\(TF = \frac{{C\left( s \right)}}{{R\left( s \right)}} = \frac{{\omega _n^2}}{{{s^2} + 2\zeta {\omega _n}s + \omega _n^2}}\)

ζ अवमंदन अनुपात है, ωn अवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति है।

अभिलाक्षणिक समीकरण:

विशेषता समीकरण के मूल हैं:

\({s^2} + 2\zeta {\omega _n} + \omega _n^2 = 0\)

\(- \zeta {\omega _n} \pm j{\omega _n}\sqrt {1 - {\zeta ^2}} = - \alpha \pm j{\omega _d}\)

 α अवमंदन गुणक है

ζ = 0, तंत्र अवमंदित होता है

ζ = 1, तंत्र क्रांतिक रूप से अवमंदित होता है

0 < ξ <1, तंत्र न्यून अवमंदित होता है

ζ > 1, तंत्र अति अवमंदित होता है

द्वितीय अवकलज वाला इनपुट सिग्नल समय स्थिरांक को संशोधित करता है और दोलनों को रोकता है।

द्वितीय-कोटि वाली प्रणाली की समय प्रतिक्रिया नीचे दी गयी है:

वर्णन:

• स्थिर-अवस्था के अंतिम मान तक पहुंचने के लिए प्रणाली द्वारा आवश्यक न्यूनतम समय को समय स्थिरांक के रूप में जाना जाता है।
• यदि प्रणाली का समय स्थिरांक उच्च होता है, तो स्थायीकरण समय और दोलन अधिक होंगे।
• द्वितीय-कोटि वाले इनपुट सिग्नल को लेने पर समय स्थिरांक कम हो जाता है और प्रणाली स्थिर अवस्था पर संतुलित हो जाती है, जिससे दोलन रुक जाता है।

धारणा:

मानक द्वितीय कोटि प्रणाली का विशेषता समीकरण इसके द्वारा दिया गया है

s² + 2ξ ω_n s + ω²_n = 0

प्रणाली को निम्न कहा जाता है

• अनवमंदित यदि ξ = 0
• क्रांतिक रुप से अवमन्दित यदि ξ = 1
• अधोअवमंदित यदि ξ < 1
• अतिअवमंदित यदि ξ > 1

गणना:

\(G\left( s \right)=\frac{9}{{{s}^{2}}+6s+9}\)

विशेषता समीकरण: s² + 6s + 9 = 0

मानक द्वितीय कोटि प्रणाली के साथ तुलना करके,

\(\omega _{n}^{2}=9\Rightarrow {{\omega }_{n}}=3\)

2ζ ω_n = 6 ⇒ 2 × ζ × 3 = 6

⇒ ζ = 1

अवमंदन अनुपात के मान के आधार पर ध्रुवों की स्थिति 

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।

• ऋणात्मक-प्रतिपुष्टि वाला ऐम्प्लीफायर इसके आउटपुट के भाग को इसके इनपुट से घटाता है जिससे ऋणात्मक प्रतिपुष्टि वास्तविक सिग्नल का विरोध करती है।
• लागू ऋणात्मक प्रतिपुष्टि लाभ स्थिरता, रैखिकता, आवृत्ति प्रतिक्रिया, चरण प्रतिक्रिया नामक इसके प्रदर्शन को बढ़ाती है और निर्माण या बाह्य के कारण मानदंड भिन्नताओं के लिए संवेदनशीलता को कम करती है।
• इसलिए, ऋणात्मक प्रतिपुष्टि वाला दो-चरण ऐम्प्लीफायर सदैव संतुलित होता है।
• जब अवमंदन गुणांक K एकल से कम होता है, तो ऋणात्मक प्रतिपुष्टि के साथ दो-चरण वाले ऐम्प्लीफायर में ओवरशूट होता है।

वर्णन:

अधःअवमंदित प्रणाली में अवमंदन गुणांक K,1 से कम होता है और शीर्ष ओवरशूट घटित होता है। 

संकल्पना:

एक नियंत्रण प्रणाली के स्थानांतरण फलन को आउटपुट चर के लाप्लास परिवर्तन के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है, जो इनपुट प्रारंभिक के रूपांतरण को सभी प्रारंभिक स्थितियों को शून्य मानते हुए परिवर्तित करता है।

क्रम: अंतरण फलन के हर में जटिल चर 's' की उच्चतम शक्ति प्राणलै  के क्रम को निर्धारित करती है।

लाप्लास डोमेन में, प्रारंभ करनेवाला प्रतिबाधा को "sL" के रूप में लिखा जाता है

और धारिता प्रतिबाधा के रूप में:

\(\frac{1}{{sC}}\) 

एक प्रतिरोधक के लिए, कोई परिवर्तन नहीं है।

गणना:

दिए गए परिपथ से संधारित्र का मान 100 μ F और 10 KΩ का प्रतिरोधक है

धारिता प्रतिबाधा निम्न है

\(\frac{1}{{sC}} = \frac{1}{{s100 \times {{10}^{ - 6}}}}\)

\( = \frac{1}{{s{{10}^{ - 4}}}}\)

\( = \frac{{{{10}^4}}}{s}\)

मान लें कि एक परिपथ में धारा I प्रवाहित हो रही है और लाप्लास डोमेन में परिपथ निम्न होगा

आउटपुट निम्न है

\({V_2}\left( s \right) = I\left( s \right)\left( {10 \times {{10}^3} + \frac{{{{10}^4}}}{s}} \right)\)

KVL को उस लूप में लागू करने से जो हमें मिलता है

\( - {V_1}\left( s \right) + I\left( s \right)\left( {\frac{{{{10}^4}}}{s}} \right) + I\left( s \right)\left( {{{10}^4} + \frac{{{{10}^4}}}{s}} \right) = 0\)

\({V_1}\left( s \right) = I\left( s \right)\left( {2 \times \frac{{{{10}^4}}}{s} + {{10}^4}} \right)\)

अब लाप्लास परिवर्तन का अनुपात निम्न है:

\(\frac{{{V_2}\left( s \right)}}{{{V_1}\left( s \right)}} = \frac{{I\left( s \right)\left( {\frac{{s + 1}}{s}} \right){{10}^4}}}{{I\left( s \right)\left( {\frac{{s + 2}}{s}} \right){{10}^4}}} \)

\( = \frac{{s + 1}}{{s + 2\;}}\)

महत्वपूर्ण बिंदु:

नोट: ध्रुव और शून्य कुछ भी नहीं बल्कि समय के व्युत्क्रम स्थिरांक के ऋणात्मक हैं

माना कि द्वितीय-कोटि वाली प्रणाली के स्थानांतरण फलन का सामान्य समीकरण निम्न है:

\(TF = \frac{{C\left( s \right)}}{{R\left( s \right)}} = \frac{{\omega _n^2}}{{{s^2} + 2\zeta {\omega _n}s + \omega _n^2}}\)

जहाँ,

ζ अवमंदन अनुपात है। 

ωn अन्देंप्त प्राकृतिक आवृत्ति है। 

विशेषता समीकरण: \({s^2} + 2\zeta {\omega _n} + \omega _n^2 = 0\)

विशेषता समीकरण के मूल निम्न हैं:\(- \zeta {\omega _n} + j{\omega _n}\sqrt {1 - {\zeta ^2}} = - \alpha \pm j{\omega _d}\)

α अवमंदन गुणांक है। 

प्रणाली की प्रकृति को इसके ‘ζ’ मान द्वारा वर्णित किया जाता है।  

अवधारणा:

प्रणाली का प्रकार अवमन्दित कारक (ζ) के मूल्य से निर्धारित होता है, अर्थात

1) यदि 0 < ζ < 1, तो प्रणाली अधोअवमन्दित है।

2) यदि ζ = 1 है, तो प्रणाली क्रांतिक रूप से अवमन्दित है।

3) यदि > 1, प्रणाली अतिअवमन्दित है।

विश्लेषण:

\(G(s) = \frac{{(2s + 1)}}{{({s^2} + 2s + 5)}}\)

प्रणाली की विशेषता समीकरण समग्र स्थानांतरण फलन का हर है।

s2 + 2s + 5 = 0    ---(1)

इसकी तुलना द्वितीय कोटि प्रणाली के मानक अभिलक्षणिक समीकरण से करें:

1 + G(s)H(s) = 0

s2 + 2ζωns + ω2n = 0.....(ii)

समीकरण (i) और (ii) की तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

ω2n = 5

ωn = √5 rad/sec = 2.23 rad/sec

2ζωn = 2

ζ = \(\frac{1}{{{\omega _n}}}\) = \(\frac{1}{{{2.23}}}\)

=0.44

तो, 0 <ζ <1

इसलिए प्रणाली अधोअवमन्दित है।

संकल्पना:

मानक द्वितीय-कोटि वाली प्रणाली को \(\frac{{\omega _n^2}}{{{s^2} + 2\xi {\omega _n}s + \omega _n^2}}\)  द्वारा ज्ञात किया गया है।

जहाँ ξ अवमंदन अनुपात है।

ωn प्राकृतिक आवृत्ति है।

यदि ξ = 1 है, तो प्रणाली क्रांतिक रूप से अवमंदित है।

यदि ξ < 1 है, तो प्रणाली अधःअवमंदित है।

यदि ξ > 1 है, तो प्रणाली अतिअवमंदित है।

यदि ξ = 0 है, तो प्रणाली को अन्देंप्त कहा जाता है।

गणना:

\(TF = \frac{{32}}{{{s^2} + 15s + 32}}\)

एक मानक द्वितीय-कोटि वाले स्थानांतरण फलन के साथ तुलना करने पर, 

ωn2 = 32 ⇒ ωn = √32

\(2\xi {{\rm{\omega }}_n} = 15 \Rightarrow \xi = \frac{15}{{2\sqrt {32} }} > 1\)

अतः यह एक अतिअवमंदित प्रणाली है।

महत्वपूर्ण बिंदु:

• यदि ध्रुव s- समतल के वास्तविक और बाईं ओर हैं, तो स्टेप प्रतिक्रिया किसी भी दोलनों के बिना एक स्थिर स्थिति को मान लेती है।
• यदि ध्रुव s- समतल के जटिल और बाईं ओर होते हैं, तो स्टेप प्रतिक्रिया अवमंदित दोलनों के साथ स्थिर स्थिति में आती है।
• यदि ध्रुव  jω अक्ष पर अनावर्ती है, तो स्टेप प्रतिक्रिया में निश्चित आयाम दोलन होंगे।
• यदि ध्रुव s-समतल के वास्तविक और दाईं ओर हैं, तो स्टेप प्रतिक्रिया बिना किसी दोलन के अनंत तक पहुंच जाती है।
• यदि ध्रुव s-समतल  के वास्तविक और दाईं ओर हैं, तो स्टेप प्रतिक्रिया बिना किसी दोलन के अनंत तक पहुंच जाती है।
• यदि ध्रुव s-समतल के जटिल और दाईं ओर होते हैं, तो स्टेप प्रतिक्रिया अवमंदित दोलनों के साथ अनंत तक पहुंच जाती है।

सही उत्तर विकल्प 4):(ζ > 1) है।

अवधारणा:

मानक द्वितीय-कोटि तंत्र का अंतरण फलन है:

\(TF = \frac{{C\left( s \right)}}{{R\left( s \right)}} = \frac{{\omega _n^2}}{{{s^2} + 2\zeta {\omega _n}s + \omega _n^2}}\)

ζ अवमंदन अनुपात है, ωn अवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति है।

अभिलाक्षणिक समीकरण:

विशेषता समीकरण के मूल हैं:

\({s^2} + 2\zeta {\omega _n} + \omega _n^2 = 0\)

\(- \zeta {\omega _n} \pm j{\omega _n}\sqrt {1 - {\zeta ^2}} = - \alpha \pm j{\omega _d}\)

 α अवमंदन गुणक है

ζ = 0, तंत्र अवमंदित होता है

ζ = 1, तंत्र क्रांतिक रूप से अवमंदित होता है

0 < ξ <1, तंत्र न्यून अवमंदित होता है

ζ > 1, तंत्र अति अवमंदित होता है