Special Functions MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Special Functions - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Jul 4, 2025
Latest Special Functions MCQ Objective Questions
Special Functions Question 1:
व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए
माना कि a = 1 + 2C2/3! + 3C2/4! + 4C2/5! + ... और
b = 1 + (1C0 + 1C1)/1! + (2C0 + 2C1 + 2C2)/2! + (3C0 + 3C1 + 3C2 + 3C3)/3! + ... है।
तब (8b / a2) का मान ______ है।
Answer (Detailed Solution Below)
Special Functions Question 1 Detailed Solution
संप्रत्यय:
चरघातांकी जनक फलन और श्रेणी गुणांक:
- व्यंजक संयोजन nCr और क्रमगुणित का उपयोग करता है, जो घातीय और द्विपद प्रसार सर्वसमिकाओं की ओर इंगित करता है।
- x2 के गुणांक का मूल्यांकन करने के लिए फलन f(x) = 1 + (1 + x)/1! + (1 + x)2/2! + (1 + x)3/3! + ... माना जाता है।
- इस फलन को इस सर्वसमिका का उपयोग करके परिवर्तित किया जा सकता है: e1+x / (1 + x)
- इस प्रसार में x2 का गुणांक 'a' श्रेणी के RHS से मेल खाता है।
- b का मान इस सर्वसमिका का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है: 1 + 2/1! + 22/2! + 23/3! + ... = e2
गणना:
माना कि f(x) = 1 + (1 + x)/1! + (1 + x)2/2! + (1 + x)3/3! + ...
⇒ f(x) = e(1+x) / (1 + x)
RHS का प्रसार:
= (1 + x + x2/2! + ...) / (1 + x)
⇒ (1 + x + (1 + x)2/2! + (1 + x)3/3! + (1 + x)4/4! + ...)
इसलिए, RHS में x2 का गुणांक है:
2C2/3! + 3C2/4! + 4C2/5! + ... = a - 1
RHS में x2 का गुणांक:
e × (1 + x+ x2/2!) × (1 -x+ x2/2!)
e- e+ e/2! =a है,
अब, LHS व्यंजक का प्रसार करें:
e × (1 + x+ x2/2!) × (1 -x+ x2/2!)
⇒ e × (1 - (x4/4!)) = e
इसलिए, x2 का गुणांक = e x e = e2
इस प्रकार, b = 1 + 2/1! + 22/2! + 23/3! + ... = e2
a = e/2!
⇒ 8b / a2 = 2 × e2 / (e/2!)2 = 32
∴ 8b / a2 = 32
Special Functions Question 2:
Comprehension:
निम्न दो (02) प्रश्नों के लिए निम्नलिखित पर विचार कीजिए: मान लीजिए फलन , जहाँ [⋅] महत्तम पूर्णांक फलन है और है।
Answer (Detailed Solution Below)
Special Functions Question 2 Detailed Solution
गणना:
दिया गया है,
फलन
हमें यह ज्ञात करना है:
सीमा का मूल्यांकन:
∴ चूँकि बाएँ-पक्ष और दाएँ-पक्ष की सीमाएँ बराबर नहीं हैं, इसलिए सीमा का अस्तित्व नहीं है।
सही उत्तर विकल्प (4) है।
Special Functions Question 3:
Comprehension:
निम्न दो (02) प्रश्नों के लिए निम्नलिखित पर विचार कीजिए: मान लीजिए फलन , जहाँ [⋅] महत्तम पूर्णांक फलन है और है।
Answer (Detailed Solution Below)
Special Functions Question 3 Detailed Solution
गणना:
दिया गया है,
फलन है
हमें ज्ञात करना है:
सीमा का परिकलन:
इसलिए,
सही उत्तर विकल्प (2) है।
Special Functions Question 4:
माना f : ℝ → ℝ एक फलन है जो f(x) =
Answer (Detailed Solution Below)
Special Functions Question 4 Detailed Solution
गणना:
चूँकि,
⇒ -2 ≤ k ≤ 2 …(i)
⇒
दिया गया है,
0 ≤ f(x) ≤ 2
⇒
⇒
⇒
समीकरण (i) और (ii) से, हमें -m + 3 = -2 प्राप्त होता है
⇒ m = 5
इसलिए, सही उत्तर विकल्प 1 है।
Special Functions Question 5:
माना कि [.] महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है। यदि
Answer (Detailed Solution Below) 8
Special Functions Question 5 Detailed Solution
संप्रत्यय:
महत्तम पूर्णांक फलन और निश्चित समाकल:
- महत्तम पूर्णांक फलन, जिसे [x] से दर्शाया जाता है, x से कम या x के बराबर महत्तम पूर्णांक देता है।
- महत्तम पूर्णांक फलन का समाकलन करने के लिए, समाकल को उन अंतरालों में विभाजित करें जहाँ फलन अचर है।
- समाकल के अंदर फलन f(x) = [1 / ex−1] = [e1−x] है।
- हमें ∫₀³ [e1−x] dx = α − logₑ2 का मान ज्ञात करना है।
गणना:
f(x) = [e1−x] एक ह्रासमान फलन है
f(0) = [e1] = [2.718] = 2
f(1−ln2) = e1−(1−ln2) = eln2 = 2
⇒ परिसीमा बिंदु
f(x) = 2 for x ∈ [0, 1−ln2)
f(1) = [e0] = [1] = 1
f(x) = 1 for x ∈ [1−ln2, 1)
f(x) < 1 for x ≥ 1 ⇒ [f(x)] = 0
अब समाकल को तदनुसार विभाजित करें:
∫₀³ [e1−x] dx = ∫₀1−ln2 2 dx + ∫1−ln21 1 dx + ∫₁³ 0 dx
⇒ 2(1 − ln2) + (1 − (1 − ln2)) + 0
⇒ 2 − 2ln2 + ln2 = 2 − ln2
दिया गया है: ∫₀³ [e1−x] dx = α − ln2
दोनों पक्षों की तुलना करने पर:
α − ln2 = 2 − ln2 ⇒ α = 2
अब, α3 = 23 = 8
∴ α3 का मान 8 है।
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यदि
Answer (Detailed Solution Below)
Special Functions Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
लघुगणक गुण:
गुणनफल नियम: किसी गुणनफल का लॉग दो लॉग के योग के बराबर होता है।
भागफल नियम: एक भागफल का लॉग दो लॉग के अंतर के बराबर होता है।
घात नियम: घात के लॉग में घातांक गुणांक बन जाता है।
लघुगणक का सूत्र:
यदि
गणना:
दिया हुआ:
921/5 = 4 का लघुगणक रूप लिखें।
Answer (Detailed Solution Below)
Special Functions Question 7 Detailed Solution
Download Solution PDFधारणा:
गणना:
दिया हुआ: 921/5 = 4
जैसा कि हम जानते हैं कि,
यहाँ, a = 92, b = 1 / 5 और x = 4
इसलिए, 921/5 = 4 का लघुगणक रूपAnswer (Detailed Solution Below)
Special Functions Question 8 Detailed Solution
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लघुगणक गुण
- गुणनफल नियम: किसी गुणनफल का लॉग दो लॉग के योग के बराबर होता है।
- भागफल नियम: एक भागफल का लॉग दो लॉग के अंतर के बराबर होता है।
- घात नियम: घात के लॉग में घातांक गुणांक बन जाता है।
- आधार का परिवर्तन नियम
यदि m = n;
⇒
गणना:
यहाँ, हमें
= log7 log7 (71/2 × 71/4 × 71/8)
= log7 log7 (7(1/2 + 1/4 + 1/8))
= log7 log7 (7(4 + 2 + 1)/8)
= log7 log7 (77/8)
घात नियम से;
= log7 (7/8) log77
= log7 (7/8) × 1 = log7 (7/8) = log7 7 – log7 8
= 1 – log7 8 = 1 – log7 23
= 1 – 3 log7 2यदि
Answer (Detailed Solution Below)
Special Functions Question 9 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
लघुगणक गुण:
गुणनफल नियम: किसी गुणनफल का लॉग दो लॉग के योग के बराबर होता है।
भागफल नियम: एक भागफल का लॉग दो लॉग के अंतर के बराबर होता है।
घात नियम: घात के लॉग में घातांक गुणांक बन जाता है।
लघुगणक का सूत्र:
यदि
गणना:
दिया हुआ:
⇒ (x - 1) = 4
∴ x = 5
यदि log10 2 = 0.3010 तो log10 80 = ?
Answer (Detailed Solution Below)
Special Functions Question 10 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
लघुगणक:
- यदि ab = x तो हम कहते हैं कि loga x = b
- loga a = 1
- loga (xy) = loga x + loga y
गणना:
हम जानते हैं कि 80 = 23 × 10
दिए गए लघुगणक को log 2 में बदलने पर, हम प्राप्त करते हैं:
log10 80
= log10 (23 × 10)
= log10 23 + log10 10
= 3 (log10 2) + 1
= 3(0.3010) + 1
= 1.9030
यदि 5x-1 = (2.5)log105 है, तो x का मान क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Special Functions Question 11 Detailed Solution
Download Solution PDFदिया गया है:
5x-1 = (2.5)log105
प्रयुक्त सूत्र:
यदि ax = n है, तो x = logan
logab = logeb/logea
गणना:
हमारे पास है, 5x-1 = (2.5)log105
⇒ (2.5)log105 = 5x-1
⇒ log105 = log2.55x-1
⇒ log105 = (x - 1) log2.55
⇒ (x - 1) = (log105)/(log2.55)
⇒ (x - 1) = log102.5
⇒ x = log102.5 + 1
⇒ x = log102.5 + log1010
⇒ x = log1010 × 2.5
⇒ x = log1025
⇒ x = log1052
⇒ x = 2log105
∴ x का मान 2log105 है।
Answer (Detailed Solution Below)
Special Functions Question 12 Detailed Solution
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लघुगणक गुण
1. गुणनफल नियम: किसी गुणनफल का लॉग दो लॉग के योग के बराबर होता है।
2. भागफल नियम: एक भागफल का लॉग दो लॉग के अंतर के बराबर होता है।
3. घात नियम: घात के लॉग में घातांक गुणांक बन जाता है।
4. आधार का परिवर्तन नियम
यदि m = n;
⇒
5.
गणना:
यहाँ, हमें
अब
= log3 log3 (3(1/2 + 1/4))
= log3 log3 (3(2 + 1)/4)
= log3 log3 (33/4)
घात नियम से;
= log3 [(3/4)× log33] [∵ loga (m) n = n × loga (m)]
= log3 (3/4) (∵ logm m = 1)
= log3 (3/4) = log3 3 – log3 4
= 1 – log3 4 = 1 – log3 22
= 1 – 2 log3 2
Answer (Detailed Solution Below)
Special Functions Question 13 Detailed Solution
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प्रयोग किया गया सूत्र:
- Loga M + loga N = loga (MN)
क्रमगुणित:
- n! = 1 × 2 × 3 × ⋯ × (n – 1) × n
गणना:
= logN (2 × 3 × ⋯ × 100)
= logN (100!)
यदि x, y, z तीन क्रमागत धनात्मक पूर्णांक हैं, तो log (1 + xz) का मान क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Special Functions Question 14 Detailed Solution
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लघुगुणक नियम
log mn = n log m
गणना:
माना कि x, y, z तीन क्रमागत धनात्मक पूर्णांक हैं।
⇒ y = x + 1 और z = y + 1
⇒ z = x + 2
माना कि log (1 + xz) है।
= log [1 + x(x+2)]
= log [1 + x2 + 2x]
= log (1 + x)2
= 2 log (1 + x)
= 2 log y
अतः यदि x, y, z तीन क्रमागत धनात्मक पूर्णांक हैं, तो log (1 + xz) का मान 2 log y है।
Answer (Detailed Solution Below)
Special Functions Question 15 Detailed Solution
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- आधार परिवर्तन प्रमेय से हम जानते हैं कि
. - log x (x) = 1
गणना:
दिया गया है कि
आधार परिवर्तन से हम इसे निम्न रूप में लिखा सकते हैं -
⇒ log609 + log6016 +log6025
लघुगुणक के गुणनफल नियम से हम इसे निम्न रूप में फिर से लिख सकते हैं -
⇒ log60(9 x 16 x 25) = log60(3600)
⇒ log60 (60)2 = 2 log60(60) = 2
अतः विकल्प (3) सही उत्तर है।