Special Functions MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Special Functions - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

Last updated on Jul 4, 2025

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Latest Special Functions MCQ Objective Questions

Special Functions Question 1:

व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

माना कि a = 1 + 2C2/3! + 3C2/4! + 4C2/5! + ... और

b = 1 + (1C0 + 1C1)/1! + (2C0 + 2C1 + 2C2)/2! + (3C0 + 3C1 + 3C2 + 3C3)/3! + ... है। 

तब (8b / a2) का मान ______ है।

  1. 4
  2. 8
  3. 16
  4. 32

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 32

Special Functions Question 1 Detailed Solution

संप्रत्यय:

चरघातांकी जनक फलन और श्रेणी गुणांक:

  • व्यंजक संयोजन nCr और क्रमगुणित का उपयोग करता है, जो घातीय और द्विपद प्रसार सर्वसमिकाओं की ओर इंगित करता है।
  • x2 के गुणांक का मूल्यांकन करने के लिए फलन f(x) = 1 + (1 + x)/1! + (1 + x)2/2! + (1 + x)3/3! + ... माना जाता है।
  • इस फलन को इस सर्वसमिका का उपयोग करके परिवर्तित किया जा सकता है: e1+x / (1 + x)
  • इस प्रसार में x2 का गुणांक 'a' श्रेणी के RHS से मेल खाता है।
  • b का मान इस सर्वसमिका का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है: 1 + 2/1! + 22/2! + 23/3! + ... = e2

 

गणना:

माना कि f(x) = 1 + (1 + x)/1! + (1 + x)2/2! + (1 + x)3/3! + ...

⇒ f(x) = e(1+x) / (1 + x)

RHS का प्रसार:

= (1 + x + x2/2! + ...) / (1 + x)

⇒ (1 + x + (1 + x)2/2! + (1 + x)3/3! + (1 + x)4/4! + ...)

इसलिए, RHS में x2 का गुणांक है:

2C2/3! + 3C2/4! + 4C2/5! + ... = a - 1

RHS में x2 का गुणांक:

e × (1 + x+ x2/2!) × (1 -x+ x2/2!)

e- e+ e/2! =a है,

अब, LHS व्यंजक का प्रसार करें:

e × (1 + x+ x2/2!) × (1 -x+ x2/2!)

⇒ e × (1 - (x4/4!)) = e 

इसलिए, x2 का गुणांक = e x e = e2

इस प्रकार, b = 1 + 2/1! + 22/2! + 23/3! + ... = e2

a = e/2!

⇒ 8b / a2 = 2 × e2 / (e/2!)2 = 32

∴ 8b / a2 = 32

Special Functions Question 2:

Comprehension:

निम्न दो (02) प्रश्नों के लिए निम्नलिखित पर विचार कीजिए: मान लीजिए फलन , जहाँ [] महत्तम पूर्णांक फलन है और है।

limx0f(x)g(x) किसके बराबर है?

  1. sin1
  2. sin1
  3. 0
  4. सीमा का अस्तित्व नहीं है। 

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : सीमा का अस्तित्व नहीं है। 

Special Functions Question 2 Detailed Solution

गणना:

दिया गया है,

फलन f(x)=sin(x) है, जहाँ x महत्तम पूर्णांक फलन है, और g(x) = |x|, निरपेक्ष मान फलन है।

हमें यह ज्ञात करना है:

limx0f(x)g(x)

g(x)=|x| के लिए, हम जानते हैं कि:

limx0g(x)=0

f(x)=sin(x) के लिए, हम जानते हैं कि:

x0+ के लिए, x=0, इसलिए f(x) = sin(0) = 0

x0 के लिए, x=1, इसलिए f(x)=sin(1), जो एक शून्येतर अचर है।

सीमा का मूल्यांकन:

x0+ के लिए, f(x)g(x)=0x=0

x0 के लिए, f(x)g(x)=sin(1)x, जो अपरिभाषित हो जाता है क्योंकि x0 क्योंकि हर 0 की ओर अग्रसर है, लेकिन अंश एक शून्येतर अचर रहता है।

चूँकि बाएँ-पक्ष और दाएँ-पक्ष की सीमाएँ बराबर नहीं हैं, इसलिए सीमा का अस्तित्व नहीं है।

सही उत्तर विकल्प (4) है। 

Special Functions Question 3:

Comprehension:

निम्न दो (02) प्रश्नों के लिए निम्नलिखित पर विचार कीजिए: मान लीजिए फलन , जहाँ [] महत्तम पूर्णांक फलन है और है।

limx0f(x)g(x) किसके बराबर है?

  1. -1
  2. 0
  3. 1
  4. सीमा का अस्तित्व नहीं है। 

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 0

Special Functions Question 3 Detailed Solution

गणना:

दिया गया है,

फलन है f(x)=sin(x), जहाँ x महत्तम पूर्णांक फलन है, और g(x) = |x|, निरपेक्ष मान फलन है।

हमें ज्ञात करना है:

limx0f(x)g(x)

g(x)=|x| के लिए, हम जानते हैं कि:

limx0g(x)=0

f(x)=sin(x) के लिए, हम जानते हैं कि:

x0+ के लिए, x=0, इसलिए f(x) = sin(0) = 0

x0 के लिए, x=1, इसलिए f(x)=sin(1) है, जो कि एक शून्येतर अचर है।

सीमा का परिकलन:

x0+ के लिए,f(x)g(x)=0×x=0

x0 के लिए, f(x)g(x)=sin(1)×(x), जो 0 की ओर अग्रसर है चूँकि x0..है। 

इसलिए, limx0f(x)g(x) का मान 0 है।

सही उत्तर विकल्प (2) है।

Special Functions Question 4:

माना f : ℝ → ℝ एक फलन है जो f(x) = logm{2(sinxcosx)+m2} द्वारा परिभाषित है, जहाँ m कुछ ऐसा है कि f का परिसर [0, 2] है। तब m का मान _______ है।

  1. 5
  2. 3
  3. 2
  4. 4

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : 5

Special Functions Question 4 Detailed Solution

गणना:

चूँकि,

2sinxcosx2

22(sinxcosx)2

( मान लीजिये 2(sinxcosx)=k)

⇒ -2 k 2 …(i)

f(x)=logm(k+m2)

दिया गया है,

0 f(x) 2

0logm(k+m2)2

1k+m2m

m+3k2 (ii) 

समीकरण (i) और (ii) से, हमें -m + 3 = -2 प्राप्त होता है

m = 5

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 1 है।

Special Functions Question 5:

माना कि [.] महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है। यदि 03[1ex1]dx=αloge2, then α3 is equal to ____.

Answer (Detailed Solution Below) 8

Special Functions Question 5 Detailed Solution

संप्रत्यय:

महत्तम पूर्णांक फलन और निश्चित समाकल:

  • महत्तम पूर्णांक फलन, जिसे [x] से दर्शाया जाता है, x से कम या x के बराबर महत्तम पूर्णांक देता है।
  • महत्तम पूर्णांक फलन का समाकलन करने के लिए, समाकल को उन अंतरालों में विभाजित करें जहाँ फलन अचर है।
  • समाकल के अंदर फलन f(x) = [1 / ex−1] = [e1−x] है।
  • हमें ∫₀³ [e1−x] dx = α − logₑ2 का मान ज्ञात करना है।

 

गणना:

f(x) = [e1−x] एक ह्रासमान फलन है

f(0) = [e1] = [2.718] = 2

f(1−ln2) = e1−(1−ln2) = eln2 = 2

⇒ परिसीमा बिंदु

f(x) = 2 for x ∈ [0, 1−ln2)

f(1) = [e0] = [1] = 1

f(x) = 1 for x ∈ [1−ln2, 1)

f(x) < 1 for x ≥ 1 ⇒ [f(x)] = 0

अब समाकल को तदनुसार विभाजित करें:

∫₀³ [e1−x] dx = ∫₀1−ln2 2 dx + ∫1−ln21 1 dx + ∫₁³ 0 dx

⇒ 2(1 − ln2) + (1 − (1 − ln2)) + 0

⇒ 2 − 2ln2 + ln2 = 2 − ln2

दिया गया है: ∫₀³ [e1−x] dx = α − ln2

दोनों पक्षों की तुलना करने पर:

α − ln2 = 2 − ln2 ⇒ α = 2

अब, α3 = 23 = 8

∴ α3 का मान 8 है।

Top Special Functions MCQ Objective Questions

यदि log3(x4x3)log3(x1)=3 तो x किसके बराबर है?

  1. 1
  2. 6
  3. 3
  4. 9

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 3

Special Functions Question 6 Detailed Solution

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अवधारणा:

लघुगणक गुण:

गुणनफल नियम: किसी गुणनफल का लॉग दो लॉग के योग के बराबर होता है।

loga(mn)=logam+logan

भागफल नियम: एक भागफल का लॉग दो लॉग के अंतर के बराबर होता है।

logamn=logamlogan

घात नियम: घात के लॉग में घातांक गुणांक बन जाता है।

logamn=nlogam

 

लघुगणक का सूत्र:

यदि logax=b तो x = ab (यहाँ a ≠ 1 और a > 0)

 

गणना:

दिया हुआ: log3(x4x3)log3(x1)=3

log3[(x4x3)(x1)]=3        (∵ logamn=logamlogan)

log3[x3(x1)(x1)]=3

log3x3=3

3log3x=3               (∵ logamn=nlogam

log3x=1x=3

921/5 = 4 का लघुगणक रूप लिखें।

  1. log924=15
  2. log154=92
  3. log92(15)=3
  4. इनमें से कोई नहीं

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : log924=15

Special Functions Question 7 Detailed Solution

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धारणा:

ab=xlogax=b, यहाँ a1 और a > 0 और x कोई भी संख्या हो।

गणना:

दिया हुआ: 921/5 = 4

जैसा कि हम जानते हैं कि, ab=xlogax=b.

ab=x के साथ 921/5 = 4 की तुलना करके हमारे पास है

यहाँ, a = 92, b = 1 / 5 और x = 4

इसलिए, 921/5 = 4 का लघुगणक रूप log924=15 है।

log7log7777 का मान किसके बराबर है?

  1. 3 log2 7
  2. 1 – 3 log2 7
  3. 1 – 3 log7 2
  4. 78

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 1 – 3 log7 2

Special Functions Question 8 Detailed Solution

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धारणा:

लघुगणक गुण

  1. गुणनफल नियम: किसी गुणनफल का लॉग दो लॉग के योग के बराबर होता है।

loga(mn)=logam+logan

  1. भागफल नियम: एक भागफल का लॉग दो लॉग के अंतर के बराबर होता है।

logamn=logamlogan

  1. घात नियम: घात के लॉग में घातांक गुणांक बन जाता है।

logamn=nlogam

  1. आधार का परिवर्तन नियम

logmn=loganlogam

यदि m = n;
logmm=logamlogam=1

  1. logmn=1lognm

 

गणना:

यहाँ, हमें log7log7777 का मूल्य ज्ञात करना है

log7log7777

= log7 log7 (71/2 × 71/4 × 71/8)

= log7 log7 (7(1/2 + 1/4 + 1/8))

= log7 log7 (7(4 + 2 + 1)/8)

= log7 log7 (77/8)

घात नियम से;

= log7 (7/8) log77

= log7 (7/8) × 1 = log7 (7/8) = log7 7 – log7 8

= 1 – log7 8 = 1 – log7 23

= 1 – 3 log7 2

यदि log4(x21)log4(x+1)=1 तो x किसके बराबर है?

  1. 1
  2. 2
  3. 4
  4. 5

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 5

Special Functions Question 9 Detailed Solution

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अवधारणा:

लघुगणक गुण:

गुणनफल नियम: किसी गुणनफल का लॉग दो लॉग के योग के बराबर होता है।

loga(mn)=logam+logan

भागफल नियम: एक भागफल का लॉग दो लॉग के अंतर के बराबर होता है।

logamn=logamlogan

घात नियम: घात के लॉग में घातांक गुणांक बन जाता है।

logamn=nlogam

 

लघुगणक का सूत्र:

यदि logax=b तो x = ab (यहाँ a ≠ 1 और a > 0)

 

गणना:

दिया हुआ: log4(x21)log4(x+1)=1

log4[(x21)(x+1)]=1        (∵ logamn=logamlogan)

log4[(x1)(x+1)(x+1)]=1

log4(x1)=1

⇒ (x - 1) = 4

∴ x = 5

यदि log10 2 = 0.3010 तो log10 80 = ?

  1. 1.240
  2. 0.9030
  3. 3.010
  4. 1.9030

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 1.9030

Special Functions Question 10 Detailed Solution

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अवधारणा:

लघुगणक:

  • यदि ab = x तो हम कहते हैं कि loga x = b
  • loga a = 1
  • loga (xy) = loga x + loga y


गणना:

हम जानते हैं कि 80 = 23 × 10

दिए गए लघुगणक को log 2 में बदलने पर, हम प्राप्त करते हैं:

log10 80

= log10 (23 × 10)

= log10 23 + log10 10

= 3 (log10 2) + 1

= 3(0.3010) + 1

1.9030

यदि 5x-1 = (2.5)log105 है, तो x का मान क्या है?

  1. 1
  2. log102
  3. log10​5
  4. 2log10​5

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 2log10​5

Special Functions Question 11 Detailed Solution

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दिया गया है:

5x-1 = (2.5)log105

प्रयुक्त सूत्र:

यदि ax = n है, तो x = logan

logab = logeb/logea

गणना:

हमारे पास है, 5x-1 = (2.5)log105

⇒ (2.5)log10= 5x-1 

⇒ log105  = log2.55x-1 

⇒ log105  = (x - 1) log2.55

⇒ (x - 1) = (log105)/(log2.55)

⇒ (x - 1) = log102.5

⇒ x = log102.5 + 1

⇒ x = log102.5 log1010

⇒ x = log1010 × 2.5

⇒ x = log1025

⇒ x = log1052

⇒ x = 2log10​5

∴ x का मान 2log10​5 है।

log3log333 का मान किसके बराबर है?

  1. 3 log2 (3)
  2. 1 – 3 log2 (2)
  3. 1 – 2 log3 (2)
  4. 38

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 1 – 2 log3 (2)

Special Functions Question 12 Detailed Solution

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धारणा:

लघुगणक गुण

1. गुणनफल नियम: किसी गुणनफल का लॉग दो लॉग के योग के बराबर होता है।

loga(mn)=logam+logan

2. भागफल नियम: एक भागफल का लॉग दो लॉग के अंतर के बराबर होता है।

logamn=logamlogan

3. घात नियम: घात के लॉग में घातांक गुणांक बन जाता है।

logamn=nlogam

4. आधार का परिवर्तन नियम

logmn=loganlogam

यदि m = n;

⇒ logmm=logamlogam=1

5. logmn=1lognm

गणना:

यहाँ, हमें log3log333 का मूल्य ज्ञात करना है

अब

log3log333 = log3 log3 (31/2 × 31/4)

= log3 log3 (3(1/2 + 1/4))

= log3 log3 (3(2 + 1)/4)

= log3 log3 (33/4)

घात नियम से;

= log3 [(3/4)× log33]                [∵ loga (m) n = n × loga (m)]

= log3 (3/4)                  (∵ logm m = 1)

= log3 (3/4) = log3 3 – log3 4

= 1 – log3 4 = 1 – log3 22

= 1 – 2 log3 2

1log2N+1log3N+1log4N++1log100N किसके बराबर है (N ≠ 1)?

  1. 1log100!N
  2. 1log99!N
  3. 99log100!N
  4. 99log99!N

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : 1log100!N

Special Functions Question 13 Detailed Solution

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संकल्पना:

प्रयोग किया गया सूत्र:

  • logab=1logba
  • Loga M + loga N = loga (MN)

 

क्रमगुणित:

  • n! = 1 × 2 × 3 × ⋯ × (n – 1) × n

 

गणना:

 logab=1logba का प्रयोग करने पर 

1log2N+1log3N++1log100N=logN2+logN3++logN100

= logN (2 × 3 × ⋯ × 100)

= logN (100!)

=1log100!N

यदि x, y, z तीन क्रमागत धनात्मक पूर्णांक हैं, तो log (1 + xz) का मान क्या है?

  1. log y
  2. log (y/2)
  3. log (2y)
  4. 2 log (y)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 2 log (y)

Special Functions Question 14 Detailed Solution

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संकल्पना:

लघुगुणक नियम 

log m= n log m

 

गणना:

माना कि x, y, z तीन क्रमागत धनात्मक पूर्णांक हैं। 

⇒ y = x + 1 और z = y + 1

⇒ z = x + 2

माना कि log (1 + xz) है। 

= log [1 + x(x+2)]

= log [1 + x2 + 2x]

= log (1 + x)2

= 2 log (1 + x)

= 2 log y

अतः यदि x, y, z तीन क्रमागत धनात्मक पूर्णांक हैं, तो log (1 + xz) का मान 2 log y है। 

{1log960+1log1660+1log2560} का मान क्या है?

  1. 0
  2. 1
  3. 2
  4. 3

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 2

Special Functions Question 15 Detailed Solution

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संकल्पना:

  • आधार परिवर्तन प्रमेय से हम जानते हैं कि logba=logxalogxb=1logab.
  • log x (x) = 1

गणना:

दिया गया है कि {1log960+1log1660+1log2560}

आधार परिवर्तन से हम इसे निम्न रूप में लिखा सकते हैं -

⇒ log609 + log6016 +log6025

लघुगुणक के गुणनफल नियम से हम इसे निम्न रूप में फिर से लिख सकते हैं -

⇒ log60(9 x 16 x 25) = log60(3600)

⇒ log60 (60)2 = 2 log60(60) = 2

अतः विकल्प (3) सही उत्तर है। 

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