Solutions of Differential Equations MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Solutions of Differential Equations - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Jun 30, 2025
Latest Solutions of Differential Equations MCQ Objective Questions
Solutions of Differential Equations Question 1:
यदि प्रारंभिक मान समस्या
के सन्निकट हल का मान, सोपान -आकार 0.1 के साथ अग्रिम ऑयलर विधि का उपयोग करके x = 0.2 पर 1.02 है, तो β का मान है:
Answer (Detailed Solution Below)
Solutions of Differential Equations Question 1 Detailed Solution
संप्रत्यय:
ऑयलर विधि:
व्याख्या:
दिया गया है,
अवकल समीकरण
प्रारंभिक स्थिति
अग्रिम ऑयलर विधि का उपयोग करके x = 0.2 पर सन्निकट हल का मान 1.02 है।
हमें
ऑयलर विधि प्रारंभिक मान समस्याओं के हल के सन्निकटन के लिए एक संख्यात्मक तकनीक है।
ऑयलर विधि का सूत्र
इस समस्या में दिया गया अवकलज
हमें दिया गया है कि
आइए
प्रारंभिक स्थिति:
⇒
इसलिए, पहले चरण के बाद,
⇒
⇒
हमें दिया गया है कि
समीकरण
⇒
⇒
⇒
इसलिए, विकल्प 4) सही है।
Solutions of Differential Equations Question 2:
dy/dx = x2y – 1, y(0) = 1 से y(0.1) का अनुमानित मान ____ है।
Answer (Detailed Solution Below)
Solutions of Differential Equations Question 2 Detailed Solution
संकल्पना:
यूलर की विधि से,
y1 = y0 + h f(x0,y0)
जहाँ, h = चरण आकार = x1 – x0
गणना:
समीकरण पर विचार करें,
यह दिया गया है कि, x0 = 0, y0 = 1, h = 0.1
अत: y1 = 1 + 0.1 (0 – 1) = 0.9
y(0.1) = 0.900Solutions of Differential Equations Question 3:
यदि
Answer (Detailed Solution Below)
Solutions of Differential Equations Question 3 Detailed Solution
अवधारणा:
फॉर्म की प्रारंभिक मान समस्या का संख्यात्मक हल उत्पन्न करने के लिए यूलर की विधि:
y' = f (x, y), y(x0) = y0
yn + 1 = yn + h f(xn, yn)
गणना:
हमारे पास है,
x0 = 0, y0 = 1 , h = 0.1
x1 = x0 + h
n = 0 के लिए
⇒ y1 = y0 + hf(xn, yn)
⇒ y1 = 1 - 0.1 × (0 - 1)2
⇒ y1 = 1 - 0.1
⇒ y1 = 0. 9
n = 1 के लिए
⇒ y2 = y1 + hf(x1 - y12)
⇒ y2 = 0.9 + 0.1[0.1 - (0.9)2]
⇒ y2 = 0.9 + 0.1[0.1 - 0. 81]
⇒ y2 = 0.9 - 0.1 × 0.71
⇒ y2 = 0.9 - 0.071
⇒ y2 = 0. 829
⇒ y2 = 0.83
∴ लगभग दो दशमलव स्थान मान 0.83 है
Solutions of Differential Equations Question 4:
यदि
Answer (Detailed Solution Below)
Solutions of Differential Equations Question 4 Detailed Solution
अवधारणा:
फॉर्म की प्रारंभिक मान समस्या का संख्यात्मक हल उत्पन्न करने के लिए यूलर की विधि:
y' = f (x, y), y(x0) = y0
yn + 1 = yn + h f(xn, yn)
गणना:
हमारे पास है,
x0 = 0, y0 = 1 , h = 0.1
x1 = x0 + h
n = 0 के लिए
⇒ y1 = y0 + hf(xn, yn)
⇒ y1 = 1 - 0.1 × (0 - 1)2
⇒ y1 = 1 - 0.1
⇒ y1 = 0. 9
n = 1 के लिए
⇒ y2 = y1 + hf(x1 - y12)
⇒ y2 = 0.9 + 0.1[0.1 - (0.9)2]
⇒ y2 = 0.9 + 0.1[0.1 - 0. 81]
⇒ y2 = 0.9 - 0.1 × 0.71
⇒ y2 = 0.9 - 0.071
⇒ y2 = 0. 829
⇒ y2 = 0.83
∴ लगभग दो दशमलव स्थान मान 0.83 है
Solutions of Differential Equations Question 5:
dy/dx = x2y – 1, y(0) = 1 से y(0.1) का अनुमानित मान ____ है।
Answer (Detailed Solution Below)
Solutions of Differential Equations Question 5 Detailed Solution
संकल्पना:
यूलर की विधि से,
y1 = y0 + h f(x0,y0)
जहाँ, h = चरण आकार = x1 – x0
गणना:
समीकरण पर विचार करें,
यह दिया गया है कि, x0 = 0, y0 = 1, h = 0.1
अत: y1 = 1 + 0.1 (0 – 1) = 0.9
y(0.1) = 0.900Top Solutions of Differential Equations MCQ Objective Questions
अवकल समीकरण (1 + 3x)dy - (1 - 3y)dx = 0, y(1) = 0 का हल क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Solutions of Differential Equations Question 6 Detailed Solution
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दिया गया है,
(1 + 3x) dy – (1 – 3y) dx = 0
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर-
प्रारंभ में, y = 0; x = 1 समीकरण (A) में रखने पर, हमें प्राप्त होता है–
⇒
⇒
⇒
⇒ 4 = 1 – 3y + 3x – 9xy
⇒ 3x – 3y - 9xy = 3
⇒ x – y – 3xy = 1
dy/dx = x2y – 1, y(0) = 1 से y(0.1) का अनुमानित मान ____ है।
Answer (Detailed Solution Below)
Solutions of Differential Equations Question 7 Detailed Solution
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यूलर की विधि से,
y1 = y0 + h f(x0,y0)
जहाँ, h = चरण आकार = x1 – x0
गणना:
समीकरण पर विचार करें,
यह दिया गया है कि, x0 = 0, y0 = 1, h = 0.1
अत: y1 = 1 + 0.1 (0 – 1) = 0.9
y(0.1) = 0.900पैरामीटर की भिन्नता की विधि का उपयोग करके y'' + y = sec x हल करें।
Answer (Detailed Solution Below)
Solutions of Differential Equations Question 8 Detailed Solution
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पैरामीटर की भिन्नता की विधि
रूप y'' + py' + qy = X का समीकरण, जहाँ p, q, और X x के फलन हैं।
उपरोक्त समीकरण का पूरक फलन CF = C1y1(x) + C2y2(x) है
विशेष समाकल
जहाँ
गणना:
दिया हुआ:
y'' + y = sec x
उपरोक्त समीकरण का पूरक फलन y'' + y = 0 द्वारा दिया जाता है।
∴ D2 + 1 = 0
या D = ± i
∴ C.F = C1cos x + C2sin x
∴ y1(x) = cos x और y2(x) = sin x
खंडशः द्वारा हल करके PI = cos x ln (cos x) + x sin x
इसलिए, पूर्ण समाधान y = CF + PI है
यानी y = C1cos x + C2sin x + cos x ln (cos x) + x sin x
या, y = {C1 + ln (cos x)}cos x + (C2 + x)sin x
क्रमशः परिवर्तित प्रवाह परिच्छेदिका को समीकरण
Answer (Detailed Solution Below)
Solutions of Differential Equations Question 9 Detailed Solution
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विधि | उपयोग |
रेखीय समाश्रयण विधि | अदिश अनुक्रिया और व्याख्यात्मक चरों के बीच संबंध का प्रतिरूपण |
संकेतन (सिम्प्लेक्स) विधि | रैखिक प्रोग्रामिंग प्रतिरूपण को हल करना |
गॉस विलोपन विधि | रैखिक समीकरणों के निकाय को हल करना |
रुंगे-कुट्टा विधि | साधारण अवकल समीकरणों को हल करना |
जैसा कि हम उपरोक्त तालिका से देख सकते हैं, एक साधारण अवकल समीकरण को हल करने के लिए उपयोग की जाने वाली विधि रुंगे-कुट्टा विधि है और ऊपर दिया गया समीकरण अर्थात
इसलिए, उपरोक्त समीकरण का हल ज्ञात करने के लिए रुंगे-कुट्टा विधि का उपयोग किया जा सकता है।
कॉलम I और II में मदों का मिलान करें।
कॉलम I |
कॉलम II |
(P) गॉस-सीडल विधि |
(1) अंतर्वेशन |
(Q) फॉरवर्ड न्यूटन-गॉस विधि |
(2) अरैखिक अवकलन समीकरण |
(R) रनगे-कुट्टा विधि |
(3) संख्यात्मक समाकलन |
(S) समलम्बाकार नियम |
(4) रैखिक बीजीय समीकरण |
Answer (Detailed Solution Below)
Solutions of Differential Equations Question 10 Detailed Solution
Download Solution PDFगॉस-सीडल विधि → रैखिक बीजीय समीकरण
फॉरवर्ड न्यूटन-गॉस विधि → अंतर्वेशन
रनगे-कुट्टा विधि → अरैखिक अवकलन समीकरण
समलम्बाकार नियम → संख्यात्मक समाकलन
यदि प्रारंभिक मान समस्या
के सन्निकट हल का मान, सोपान -आकार 0.1 के साथ अग्रिम ऑयलर विधि का उपयोग करके x = 0.2 पर 1.02 है, तो β का मान है:
Answer (Detailed Solution Below)
Solutions of Differential Equations Question 11 Detailed Solution
Download Solution PDFसंप्रत्यय:
ऑयलर विधि:
व्याख्या:
दिया गया है,
अवकल समीकरण
प्रारंभिक स्थिति
अग्रिम ऑयलर विधि का उपयोग करके x = 0.2 पर सन्निकट हल का मान 1.02 है।
हमें
ऑयलर विधि प्रारंभिक मान समस्याओं के हल के सन्निकटन के लिए एक संख्यात्मक तकनीक है।
ऑयलर विधि का सूत्र
इस समस्या में दिया गया अवकलज
हमें दिया गया है कि
आइए
प्रारंभिक स्थिति:
⇒
इसलिए, पहले चरण के बाद,
⇒
⇒
हमें दिया गया है कि
समीकरण
⇒
⇒
⇒
इसलिए, विकल्प 4) सही है।
यदि रुंगा की विधि का प्रयोग करके
Answer (Detailed Solution Below)
Solutions of Differential Equations Question 12 Detailed Solution
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रुंगा-कुटा विधि (R-K विधि):
स्थिति y(x0) = y0 के साथ
- माना कि 'h', x के समतुल्य मानों के बीच के अंतराल को दर्शाता है।
- यदि प्रारंभिक मान (x0 , y0) हैं।
- तो y में पहले वृद्धि की गणना दिए गए सूत्र से की गयी है,
k1 = h f(x0 , y0)
k2 = h f(x0 +
k3 = h f(x0 +
k4 = h f(x0 + h, y0 + k3)
Δy =
y1 = y0 + Δy
जहाँ,
Δy, y में परिवर्तन है।
y0, y का प्रारंभिक मान है।
y1, y का परिवर्तित मान है।
गणना:
दिया गया है:
x0 = 0; y0 = 1; h = 0.2;
f(x, y) = x + y;
k1 = h f(x0 , y0) = 0.2 (0 + 1) = 0.2;
k2 = h f(x0 +
⇒ k2 = 0.2 × (0.1 + 1.1) = 0.24;
k3 = h f(x0 +
⇒ k3 = 0.244;
k4 = h f(x0 + h, y0 + k3) = 0.2 × f(0 + 0.2, 1 + 0.244) = 0.2 × f(0.2,1.244)
⇒ k4 = 0.2888;
Δy =
⇒ Δy = 1/6 (0.2 + (2 × 0.24) + (2 × 0.244) + 0.2888) = 0.2428;
Now
y1 = y0 + Δy
⇒ y1 = 1 + 0.2428 = 1.24
एक साधारण अवकल समीकरण
Answer (Detailed Solution Below)
Solutions of Differential Equations Question 13 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
रनगे-कुट्टा चतुष्कोटि विधि
x(to) = xo
tn = to + nΔt
जहाँ Δt सोपान आमाप है, n = 1,2,3 ..
K1 = Δt × f(to,xo)
K4 = Δt × f(to + Δt, xo + K3)
जहाँ K, x में वृद्धि है।
गणना:
दिया गया है:
t = 0, x = xo पर
Δt = 0.2
f(t,x) x के मान पर निर्भर नहीं करता क्योंकि यह केवल t का फलन है।
K1 = Δt × f(to,xo) = 0.2 × f(0,xo) = 0.2 × 4 = 0.8
K2 = Δt × f(0 + 0.1,xo + 0.4) = Δt × f(0.1,xo + 0.4) = 0.2 × {4(0.1) + 4} = 0.88
K3 = Δt × f{to + 0.1,xo + (0.44)} = Δt × f(0.1,xo + 0.44) = 0.2 × {4(0.1) + 4} = 0.88
K4 = Δt × f(to + Δt,xo + K3)
K4 = Δt × f(0 + 0.2,xo + 0.88) = Δt × f(0.2,xo + 0.88) = 0.2 × {4(0.2) + 4} = 0.96
x (K) में वृद्धि
K = 0.88
यदि
Answer (Detailed Solution Below)
Solutions of Differential Equations Question 14 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
फॉर्म की प्रारंभिक मान समस्या का संख्यात्मक हल उत्पन्न करने के लिए यूलर की विधि:
y' = f (x, y), y(x0) = y0
yn + 1 = yn + h f(xn, yn)
गणना:
हमारे पास है,
x0 = 0, y0 = 1 , h = 0.1
x1 = x0 + h
n = 0 के लिए
⇒ y1 = y0 + hf(xn, yn)
⇒ y1 = 1 - 0.1 × (0 - 1)2
⇒ y1 = 1 - 0.1
⇒ y1 = 0. 9
n = 1 के लिए
⇒ y2 = y1 + hf(x1 - y12)
⇒ y2 = 0.9 + 0.1[0.1 - (0.9)2]
⇒ y2 = 0.9 + 0.1[0.1 - 0. 81]
⇒ y2 = 0.9 - 0.1 × 0.71
⇒ y2 = 0.9 - 0.071
⇒ y2 = 0. 829
⇒ y2 = 0.83
∴ लगभग दो दशमलव स्थान मान 0.83 है
Solutions of Differential Equations Question 15:
अवकल समीकरण (1 + 3x)dy - (1 - 3y)dx = 0, y(1) = 0 का हल क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Solutions of Differential Equations Question 15 Detailed Solution
गणना:
दिया गया है,
(1 + 3x) dy – (1 – 3y) dx = 0
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर-
प्रारंभ में, y = 0; x = 1 समीकरण (A) में रखने पर, हमें प्राप्त होता है–
⇒
⇒
⇒
⇒ 4 = 1 – 3y + 3x – 9xy
⇒ 3x – 3y - 9xy = 3
⇒ x – y – 3xy = 1